Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=e^-t cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis. Estamos em Cálculo Multivariável, mais precisamente no conteúdo de derivadas parciais. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial, tratando a outra variável como constante, e as regras básicas de derivação (cadeia e derivada de exponencial e cosseno).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função de forma clara:
f(x,y)=e^-ycos(pi x)
Para calcular partial f/partial x, consideramos y como constante e derivamos em relação a x. A parte e^-y fica como fator constante, e derivamos cos(pi x) usando a regra da cadeia:
ddxcos(pi x) = -sin(pi x) cdot pi
Assim,
partial fpartial x = e^-yl(-pisin(pi x)r) = -pi,e^-ysin(pi x)

Passo 3

Agora, para partial f/partial y, tratamos x como constante e derivamos em relação a y. A parte cos(pi x) fica como constante, e derivamos e^-y usando a regra da cadeia:
ddye^-y = e^-y cdot (-1) = -e^-y
Logo,
partial fpartial y = cos(pi x),l(-e^-yr) = -e^-ycos(pi x)

Resposta

As derivadas parciais são
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = -\pi,e^{-y}\sin(\pi x), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\cos(\pi x). $$

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