Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis. Estamos em Cálculo Multivariável, mais precisamente no conteúdo de derivadas parciais. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial, tratando a outra variável como constante, e as regras básicas de derivação (cadeia e derivada de exponencial e cosseno).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a função de forma clara:
Para calcular
, consideramos
como constante e derivamos em relação a
. A parte
fica como fator constante, e derivamos
usando a regra da cadeia:
Assim,
Passo 3
Agora, para
, tratamos
como constante e derivamos em relação a
. A parte
fica como constante, e derivamos
usando a regra da cadeia:
Logo,
Resposta
As derivadas parciais são
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = -\pi,e^{-y}\sin(\pi x), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\cos(\pi x). $$