1s Questão: Calcule as derivadas
Derive as funções:
g(x)=\left(e^{2 x}+4\right)^{\cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\left(e^{2 x}+4\right)^{\cos \left(x^{2}\right)}.
Informações dadas:
  1. A função é g(x)=\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}.
  2. A tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em função de x.

Passo 2

Por que usar logaritmo? Quando a função tem a forma \bigl(u(x)\bigr)^{v(x)} com base e expoente que dependem de x, é muito prático aplicar a diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural em ambos os lados e depois derivar. Isso evita manipular potências complicadas diretamente. Então começamos definindo
y=g(x)=\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}.
Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y=\cos(x^{2})\cdot \ln\bigl(e^{2x}+4\bigr).
Aqui usei a propriedade \ln\bigl(a^{b}\bigr)=b\ln a.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Lembre-se: ao derivar \ln y em relação a x aplicamos a regra da cadeia; \frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y}. No lado direito temos produto de funções \cos(x^{2}) e \ln\bigl(e^{2x}+4\bigr), então usaremos a regra do produto. Assim,
\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^{2})\bigr]\cdot \ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\cos(x^{2})\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)\bigr].

Passo 4

Calculamos cada derivada que aparece acima, explicando passo a passo.
  1. Derivada de \cos(x^{2}):
  • Pense como composição: \cos(u) com u=x^{2}.
  • Regra da cadeia: \frac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\cdot u'.
  • Aqui u=x^{2} e u'=2x.
    Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^{2})\bigr]=-2x\sin(x^{2}).
  1. Derivada de \ln\bigl(e^{2x}+4\bigr):
  • Novamente composição: \ln(w) com w=e^{2x}+4.
  • Regra da cadeia: \frac{d}{dx}\ln(w)=\frac{w'}{w}.
  • Agora w'= \frac{d}{dx}e^{2x} + \frac{d}{dx}4. A derivada de 4 é 0. Para e^{2x}, usamos que \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x} (regra da cadeia).
    Portanto
\frac{d}{dx}\bigl[\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)\bigr]=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+4}.

Passo 5

Substituímos essas derivadas na expressão do Passo 3:
\frac{y'}{y}=\bigl(-2x\sin(x^{2})\bigr)\cdot \ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\cos(x^{2})\cdot \frac{2e^{2x}}{e^{2x}+4}.
Agora isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y'=y\left[-2x\sin(x^{2})\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\cos(x^{2})\cdot \frac{2e^{2x}}{e^{2x}+4}\right].

Passo 6

Voltamos a trocar y pela expressão original g(x). Lembre-se que y=g(x)=\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}. Assim:
g'(x)=\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}\left[-2x\sin(x^{2})\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\frac{2e^{2x}\cos(x^{2})}{e^{2x}+4}\right].

Passo 7

Podemos fatorar 2 se quisermos deixar mais compacto (não obrigatório). Fatorando 2:
g'(x)=2\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}\left[-x\sin(x^{2})\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\frac{e^{2x}\cos(x^{2})}{e^{2x}+4}\right].

Resposta

g'(x)=\bigl(e^{2x}+4\bigr)^{\cos(x^{2})}\left[-2x\sin(x^{2})\ln\bigl(e^{2x}+4\bigr)+\frac{2e^{2x}\cos(x^{2})}{e^{2x}+4}\right].

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