1s Questão: Calcule as derivadas
Derive as funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Por que usar logaritmo? Quando a função tem a forma
com base e expoente que dependem de
, é muito prático aplicar a diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural em ambos os lados e depois derivar. Isso evita manipular potências complicadas diretamente. Então começamos definindo
Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
Aqui usei a propriedade
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se: ao derivar
em relação a
aplicamos a regra da cadeia;
. No lado direito temos produto de funções
e
, então usaremos a regra do produto. Assim,
Passo 4
Calculamos cada derivada que aparece acima, explicando passo a passo.
- Derivada de
:
- Pense como composição:
com . - Regra da cadeia:
. - Aqui
e .
Logo
- Derivada de
:
- Novamente composição:
com . - Regra da cadeia:
. - Agora
. A derivada de é . Para , usamos que (regra da cadeia).
Portanto
Passo 5
Substituímos essas derivadas na expressão do Passo 3:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Voltamos a trocar
pela expressão original
. Lembre-se que
. Assim:
Passo 7
Podemos fatorar
se quisermos deixar mais compacto (não obrigatório). Fatorando
: