Questão 3 (11 pontos) Considere o problema: Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
f(x, y)=3 x y-6 x-3 y+7
na região triangular fechada \mathcal{R} com vértices (0,0),(3,0) e (0,5).
(a) Este problema tem solução? Por quê?
(b) Caso o problema tenha solução, resolva-o.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=3xy-6x-3y+7
na região triangular fechada \mathcal{R} com vértices (0,0), (3,0) e (0,5).
Conteúdo: extremos absolutos em regiões compactas. Vamos usar o Teorema de Weierstrass, depois achar pontos críticos internos e analisar cada lado do triângulo.

Passo 2

Como \mathcal{R} é fechada e limitada (compacta) e f é polinomial (logo contínua), pelo Teorema de Weierstrass f atinge máximo e mínimo absolutos em \mathcal{R}.

Passo 3

Procuramos pontos críticos internos resolvendo
\frac{\partial f}{\partial x}=3y-6=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=3x-3=0.
Da segunda \,3x-3=0\Rightarrow x=1. Da primeira \,3y-6=0\Rightarrow y=2. O ponto (1,2) pertence a \mathcal{R} (verifica y\le -\tfrac{5}{3}x+5).

Passo 4

Calculamos
f(1,2)=3\cdot1\cdot2-6\cdot1-3\cdot2+7 =6-6-6+7=1.

Passo 5

Analisamos a aresta de (0,0) a (3,0): y=0, x\in[0,3].
f(x,0)=-6x+7,
decrescente em x. Logo
f(0,0)=7,\quad f(3,0)=-11.

Passo 6

Analisamos a aresta de (0,0) a (0,5): x=0, y\in[0,5].
f(0,y)=-3y+7,
decrescente em y. Logo
f(0,0)=7,\quad f(0,5)=-8.

Passo 7

Analisamos a aresta de (3,0) a (0,5). Na reta y=-\tfrac{5}{3}x+5, x\in[0,3],
f\bigl(x,-\tfrac{5}{3}x+5\bigr) =-5x^2+14x-8.
Derivando em x: -10x+14=0\Rightarrow x=1{,}4, y=-\tfrac{5}{3}\cdot1{,}4+5=\tfrac{8}{3}.
f(1{,}4,\tfrac{8}{3}) =-5(1{,}4)^2+14\cdot1{,}4-8=1{,}8.
Nos extremos x=0 e x=3 já tínhamos f(0,5)=-8 e f(3,0)=-11.

Passo 8

Reunindo todos os candidatos:
f(1,2)=1,\quad f(1{,}4,\tfrac{8}{3})=1{,}8,\quad f(0,0)=7,\quad f(3,0)=-11,\quad f(0,5)=-8.
Máximo absoluto =7 em (0,0). Mínimo absoluto =-11 em (3,0).

Resposta

(a) Sim. Como \mathcal{R} é compacta e f é contínua, existe máximo e mínimo absolutos pelo Teorema de Weierstrass.
(b) O máximo absoluto é f(0,0)=7. O mínimo absoluto é f(3,0)=-11.

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