Questão 3 (11 pontos) Considere o problema: Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
na região triangular fechada
com vértices
e
.
(a) Este problema tem solução? Por quê?
(b) Caso o problema tenha solução, resolva-o.
(a) Este problema tem solução? Por quê?
(b) Caso o problema tenha solução, resolva-o.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
na região triangular fechada
com vértices
,
e
.
Conteúdo: extremos absolutos em regiões compactas. Vamos usar o Teorema de Weierstrass, depois achar pontos críticos internos e analisar cada lado do triângulo.
Conteúdo: extremos absolutos em regiões compactas. Vamos usar o Teorema de Weierstrass, depois achar pontos críticos internos e analisar cada lado do triângulo.
Passo 2
Como
é fechada e limitada (compacta) e
é polinomial (logo contínua), pelo Teorema de Weierstrass
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
Passo 3
Procuramos pontos críticos internos resolvendo
Da segunda
. Da primeira
. O ponto
pertence a
(verifica
).
Passo 4
Calculamos
Passo 5
Analisamos a aresta de
a
:
,
.
decrescente em
. Logo
Passo 6
Analisamos a aresta de
a
:
,
.
decrescente em
. Logo
Passo 7
Analisamos a aresta de
a
. Na reta
,
,
Derivando em
:
,
.
Nos extremos
e
já tínhamos
e
.
Passo 8
Reunindo todos os candidatos:
Máximo absoluto
em
. Mínimo absoluto
em
.
Resposta
(a) Sim. Como
é compacta e
é contínua, existe máximo e mínimo absolutos pelo Teorema de Weierstrass.
(b) O máximo absoluto é . O mínimo absoluto é
.
(b) O máximo absoluto é