4.Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial não homogênea:
Dica de atenção:Observe cuidadosamente as raízes da equação característica da homogê- nea associada antes de propor a forma da solução particular
,para evitar o conflito de dependência linear entre as soluções.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: a equação diferencial não homogênea
- O que se pede: encontrar a solução geral
da equação (ou seja, a solução da homogênea mais uma particular). - Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação linear de coeficientes constantes de segunda ordem.
- O termo não homogêneo é do tipo polinômio vezes
: especificamente polinômio de grau multiplicado por . - Atenção: pode haver ressonância porque
está relacionado a raízes complexas da equação característica associada (isso será verificado e tratado nos próximos passos).
Passo 2
Encontre a solução da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
Calculamos as raízes:
Como as raízes são complexas conjuntas
, a solução geral da homogênea é (regra padrão para raízes
)
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha da forma da solução particular
.
- O termo forçante é
. Como corresponde à parte real de , e porque é raiz da característica (ressonância de multiplicidade ), devemos multiplicar o ansatz usual por um fator para evitar dependência linear com . - É conveniente resolver primeiro para a versão complexa: considerar a equação com o forçante complexo
e achar uma solução complexa ; a solução particular real será a parte real de . - Para o forçante
(polinômio de grau vezes com ), e tendo ressonância de ordem , o ansatz para no formato é com complexos a determinar. Explicando: sem ressonância usaríamos , mas por ressonância multiplicamos por , ficando grau 2 sem termo constante.
Passo 4
Aplicar o operador deslocado e reduzir a equação aos coeficientes
.
Considere o operador diferencial
. Usamos a identidade de deslocamento:
Com
(observação:
é raiz de
, logo
), calculemos
:
Mas
, logo simplifica para
Com
obtemos
portanto
A equação para
fica (cancelando o fator
)
Passo 5
Calcular
e determinar
.
Compute:
Substituindo em
:
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando coeficientes de
e termo constante:
Resolvendo a primeira:
Substituindo na segunda:
Calculando
:
Portanto
Passo 6
Construir a solução particular complexa e extrair a parte real.
Temos
A solução complexa particular é
Queremos a parte real:
.
Escrevendo
com
e
:
Porque
implica parte real
e parte imaginária
.
Agora
Portanto
Uma forma um pouco mais compacta:
Passo 7
Escreva a solução geral somando homogênea e particular.
A solução geral é