4.Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial não homogênea:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=(2 x+1) e^{2 x} \cdot \cos (x)
Dica de atenção:Observe cuidadosamente as raízes da equação característica da homogê- nea associada antes de propor a forma da solução particular y_{p}(x) ,para evitar o conflito de dependência linear entre as soluções.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: a equação diferencial não homogênea
y''-4y'+5y=(2x+1)e^{2x}\cos x.
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação (ou seja, a solução da homogênea mais uma particular).
  • Informações relevantes fornecidas:
    • É uma equação linear de coeficientes constantes de segunda ordem.
    • O termo não homogêneo é do tipo polinômio vezes e^{2x}\cos x: especificamente polinômio de grau 1 multiplicado por e^{2x}\cos x.
    • Atenção: pode haver ressonância porque e^{2x}\cos x está relacionado a raízes complexas da equação característica associada (isso será verificado e tratado nos próximos passos).

Passo 2

Encontre a solução da equação homogênea associada:
y''-4y'+5y=0.
Formamos a equação característica
r^{2}-4r+5=0.
Calculamos as raízes:
r=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=2\pm i.
Como as raízes são complexas conjuntas 2\pm i, a solução geral da homogênea é (regra padrão para raízes \alpha\pm i\beta)
y_{h}(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha da forma da solução particular y_{p}.
  • O termo forçante é (2x+1)e^{2x}\cos x. Como e^{2x}\cos x corresponde à parte real de e^{(2+i)x}, e porque 2+i é raiz da característica (ressonância de multiplicidade 1), devemos multiplicar o ansatz usual por um fator x para evitar dependência linear com y_{h}.
  • É conveniente resolver primeiro para a versão complexa: considerar a equação com o forçante complexo (2x+1)e^{(2+i)x}e achar uma solução complexa y_{p}^{\mathbb{C}}(x); a solução particular real será a parte real de y_{p}^{\mathbb{C}}(x).
  • Para o forçante (2x+1)e^{(2+i)x} (polinômio de grau 1 vezes e^{\lambda x} com \lambda=2+i), e tendo ressonância de ordem 1, o ansatz para v(x) no formato y_{p}^{\mathbb{C}}=e^{\lambda x}v(x) é v(x)=x\big(p x + q\big)=p x^{2}+q x,com p,q complexos a determinar. Explicando: sem ressonância usaríamos p x + q, mas por ressonância multiplicamos por x, ficando grau 2 sem termo constante.

Passo 4

Aplicar o operador deslocado e reduzir a equação aos coeficientes p,q.
Considere o operador diferencial L(D)=D^{2}-4D+5. Usamos a identidade de deslocamento:
L(D)\big[e^{\lambda x}v(x)\big]=e^{\lambda x}L(D+\lambda)[v(x)].
Com \lambda=2+i (observação: \lambda é raiz de r^{2}-4r+5, logo L(\lambda)=0), calculemos L(D+\lambda):
L(D+\lambda)=(D+\lambda)^{2}-4(D+\lambda)+5=D^{2}+(2\lambda-4)D+(\lambda^{2}-4\lambda+5).
Mas \lambda^{2}-4\lambda+5=L(\lambda)=0, logo simplifica para
L(D+\lambda)=D^{2}+(2\lambda-4)D.
Com \lambda=2+i obtemos
2\lambda-4=2(2+i)-4=2i,
portanto
L(D+\lambda)=D^{2}+2iD.
A equação para v(x) fica (cancelando o fator e^{\lambda x})
\big(D^{2}+2iD\big)[v(x)]=2x+1.

Passo 5

Calcular v(x)=p x^{2}+q x e determinar p,q.
Compute:
v'(x)=2p x+q,\qquad v''(x)=2p.
Substituindo em D^{2}+2iD:
v''(x)+2i v'(x)=2p + 2i(2p x+q)=\big(4ip\big)x + \big(2p+2iq\big).
Essa expressão deve ser igual a 2x+1. Igualando coeficientes de x e termo constante:
4i p = 2,\qquad 2p + 2i q = 1.
Resolvendo a primeira:
p=\frac{2}{4i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}.
Substituindo na segunda:
2\!\left(-\frac{i}{2}\right)+2i q=1 \quad\Rightarrow\quad -i + 2i q = 1,
2i q = 1 + i \quad\Rightarrow\quad q=\frac{1+i}{2i}.
Calculando q:
\frac{1+i}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{i}{2i}=-\frac{i}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1-i}{2}.
Portanto
p=-\frac{i}{2},\qquad q=\frac{1-i}{2}.

Passo 6

Construir a solução particular complexa e extrair a parte real.
Temos
v(x)=p x^{2}+q x=-\frac{i}{2}x^{2}+\frac{1-i}{2}x.
A solução complexa particular é
y_{p}^{\mathbb{C}}(x)=e^{(2+i)x}v(x)=e^{2x}e^{ix}v(x).
Queremos a parte real: y_{p}(x)=\Re\big(y_{p}^{\mathbb{C}}(x)\big)=e^{2x}\Re\big(e^{ix}v(x)\big).
Escrevendo v(x)=A(x)+iB(x) com A(x)=\Re v(x) e B(x)=\Im v(x):
A(x)=\frac{x}{2},\qquad B(x)=-\frac{x^{2}+x}{2}.
Porque v(x) = -\tfrac{i}{2}x^{2} + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{i}{2}x implica parte real x/2 e parte imaginária -\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x.
Agora
\Re\big(e^{ix}v(x)\big)=A(x)\cos x - B(x)\sin x.
Portanto
y_{p}(x)=e^{2x}\Big(A(x)\cos x - B(x)\sin x\Big) = e^{2x}\left(\frac{x}{2}\cos x + \frac{x^{2}+x}{2}\sin x\right).
Uma forma um pouco mais compacta:
y_{p}(x)=\frac{e^{2x}}{2}\Big(x\cos x + (x^{2}+x)\sin x\Big).

Passo 7

Escreva a solução geral somando homogênea e particular.
A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) +\frac{e^{2x}}{2}\Big(x\cos x + (x^{2}+x)\sin x\Big).

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) +\frac{e^{2x}}{2}\Big(x\cos x + (x^{2}+x)\sin x\Big)

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