1)Um homem está"ao pé"do monte Everest,a uma temperatura de -12^{\circ} \mathrm{C} ,e parte de seu equipamento de escalada consiste em uma barra(de 300 g e 1 m )de alumínio.Considere para o alumínio o coeficiente de dilatação linear 2,3 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ,o calor específico 0,22 \mathrm{cal} / \mathrm{g} { }^{\circ} \mathrm{C} ,o ponto de fusão 660^{\circ} \mathrm{C} e seu calor latente de fusão 95 \mathrm{cal} / \mathrm{g}
a)Ao chegar ao topo do monte o aventureiro percebe que a barra está 0,1 \% menor.Qual a temperatura no topo?
b)Quanta energia térmica é necessária para fundir completamente esta barra de alumínio "ao pé"do monte Everest?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma barra de alumínio de massa m=300\\ \mathrm{g} e comprimento inicial L_0=1{,}0\\ \mathrm{m} ao pé do Evereste, onde a temperatura é T_0=-12^\circ\mathrm{C}. Os dados do alumínio são: coeficiente de dilatação linear \alpha=2,3\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}, calor específico c=0,22\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}{}^\circ\mathrm{C}, ponto de fusão T_f=660^\circ\mathrm{C} e calor latente de fusão L_f=95\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
Pede-se:
a) A temperatura no topo, sabendo que a barra ficou 0{,}1\% mais curta.
b) A energia térmica necessária para fundir completamente a barra partindo de -12^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a relação da dilatação linear:
\frac{\Delta L}{L_0} \;=\;\alpha\,\Delta T,
onde \Delta L/L_0=-0{,}001 (encurtamento de 0{,}1\%) e \Delta T=T_{\text{topo}}-T_0. Logo,
\Delta T \;=\;\frac{-0,001}{2,3\times10^{-5}} \;\approx\;-43{,}48^\circ\mathrm{C}.
Assim a temperatura no topo é
T_{\text{topo}} \;=\;T_0+\Delta T \;=\;-12^\circ\mathrm{C}-43{,}48^\circ\mathrm{C} \;\approx\;-55{,}5^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Para a parte (b) calculamos a energia para aquecer de -12^\circ\mathrm{C} até 660^\circ\mathrm{C} e depois fundir:
Q_1 = m\,c\,(T_f-T_0), \quad Q_2 = m\,L_f, \quad Q = Q_1 + Q_2.
Aqui \Delta T_{\text{fus}}=660-(-12)=672^\circ\mathrm{C}, então
Q_1 = 300\;\mathrm{g}\times0,22\;\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}{}^\circ\mathrm{C}}\times672^\circ\mathrm{C} =44\,352\;\mathrm{cal},
Q_2 = 300\;\mathrm{g}\times95\;\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} =28\,500\;\mathrm{cal},
Q = 44\,352\;\mathrm{cal}+28\,500\;\mathrm{cal} =72\,852\;\mathrm{cal}.
Convertendo para joules ( 1\\ \mathrm{cal}=4,184\\ \mathrm{J}):
Q \approx72\,852\;\mathrm{cal}\times4,184\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} \approx3,05\times10^{5}\;\mathrm{J}.

Resposta

(a) -55{,}5^\circ\mathrm{C}.
(b) 7,29\times10^{4}\;\mathrm{cal} (ou aproximadamente 3,05\times10^{5}\;\mathrm{J}).

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