Questão#3: Um circuito RLC em série consiste de uma fonte com amplitude de \xi=125 \mathrm{~V} e freqüência angular \omega=50,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, um resistor \mathrm{R}=400,0 \Omega, um indutor \mathrm{L}=8,0 \mathrm{H} e um capacitor C. (i) Para qual valor de C a amplitude de corrente no circuito é máxima? (ii) Qual a amplitude de voltagem através do indutor L ?
(i) \mathrm{C}=
(ii) V_{L}=

Passo 1

O enunciado dá um circuito RLC série com fonte de amplitude \xi=125\\ \mathrm{V}, frequência angular \omega=50{,}0\\ \mathrm{rad/s}, resistor R=400{,}0\\ \Omega, indutor L=8{,}0\\ \mathrm{H} e capacitor C. Pede (i) o valor de C que maximiza a amplitude de corrente e (ii) a amplitude da tensão no indutor. Para resolver usaremos teoria de impedância e condição de ressonância em série.

Passo 2

Em regime permanente a amplitude da corrente é
I(\omega)=\frac{\xi}{\bigl|Z(\omega)\bigr|}
onde a impedância é
Z(\omega)=R + j\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)
e
\bigl|Z(\omega)\bigr|=\sqrt{R^{2}+\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)^{2}}.
Para maximizar I, minimizamos \bigl|Z\bigr|, o que ocorre quando a parte imaginária se anula:
\omega L - \tfrac{1}{\omega C}=0.

Passo 3

Da condição de ressonância em série,
\omega L = \tfrac{1}{\omega C} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{\omega^{2}L}.
Substituindo \omega=50\\ \mathrm{rad/s} e L=8\\ \mathrm{H},
C = \frac{1}{50^{2}\cdot8} = \frac{1}{2\,0000} =5\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

No ponto de ressonância a impedância é puramente resistiva, logo a corrente máxima é
I_{\max} = \frac{\xi}{R} = \frac{125}{400} =0{,}3125\\ \mathrm{A}.

Passo 5

A amplitude da tensão no indutor é
V_{L} = I_{\max}\,\omega L =0{,}3125 \times (50\times8) =0{,}3125 \times400 =125\\ \mathrm{V}.

Resposta

(i) C = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
(ii) V_{L} = 125\\ \mathrm{V}.

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