(4) 1+x^22+x^43+ldots=sumk=0^infty x^2 kk+1

Passo 1

O enunciado pede para obter, em forma fechada, a soma da série
1 + x^22 + x^43 + cdots ;=;sumk=0^inftyx^2kk+1
O conteúdo envolvido é soma de séries de potências e uso de integração termo a termo para gerar o fator 1/(k+1).

Passo 2

Observamos que
integral0^1 t^k,dt = 1k+1
Logo podemos reescrever cada termo da série como
x^2kk+1 ;=; x^2kintegral0^1t^k,dt ;=;integral0^1(x^2t)^k,dt

Passo 3

Substituindo na soma e trocando soma e integral (válido para lvert xrvert<1), obtemos
sumk=0^inftyx^2kk+1 =integral0^1sumk=0^infty(x^2t)^k,dt =integral0^111 - x^2t,dt,
pois sumk=0^infty(x^2t)^k = 1/(1 - x^2t).

Passo 4

Agora basta calcular a integral
integral0^1dt1 - x^2t ;=;[-1x^2lnl(1 - x^2tr)]t=0^t=1 ;=;-,1x^2l[ln(1 - x^2) - ln(1)r] ;=;-,ln(1 - x^2)x^2

Resposta

sumk=0^inftyx^2kk+1 =-lnl(1 - x^2r)x^2, para lvert xrvert<1

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