Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d y-3 x^2 y d x=x^2 d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
d y - 3x^2,y,d x = x^2,d x
que podemos reescrever como uma equação linear de primeira ordem em y(x). O conteúdo é “equação linear” e vamos precisar usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por d x:
d yd x - 3x^2,y = x^2

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = expl(-integral 3x^2,d xr) = expl(-x^3r)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
e^-x^3d yd x - 3x^2e^-x^3y = x^2e^-x^3
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-x^3y, ou seja
dd xl(e^-x^3yr) = x^2e^-x^3

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-x^3y = integral x^2e^-x^3,d x = -tfrac13e^-x^3 + C,
pois dd x(e^-x^3)=-3x^2e^-x^3. Finalmente isolamos y:

Passo 6

y(x) = -tfrac13 + C,e^x^3

Resposta

y(x) = C,e^x^3 - tfrac13,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados