Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d y-4 y d x=x^2 e^4 x d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
d y - 4,y,d x = x^2e^4x,d x
que, dividindo por dx, fica
dydx - 4,y = x^2e^4x
Isso é uma equação de primeira ordem linear no formato
dydx + P(x),y = Q(x),
com P(x) = -4 e Q(x) = x^2 e^4x. Vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) que satisfaz
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -4,dxr) = exp(-4x) = e^-4x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x). Assim,
e^-4xdydx - 4,e^-4xy = x^2 e^4x,e^-4x Longrightarrow e^-4xdydx - 4,e^-4xy = x^2
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-4xy, pois
ddxl(e^-4xyr) = e^-4xdydx + y,ddx(e^-4x) = e^-4xdydx - 4,e^-4xy

Passo 4

Portanto a equação vira
ddxl(e^-4xyr) = x^2
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^-4xyr),dx = integral x^2,dx Longrightarrow e^-4xy = x^33 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^4x:
y = e^4xl(x^33 + Cr) = x^33,e^4x + C,e^4x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = x^33,e^4x + C,e^4x,
onde C é uma constante arbitrária.

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