1. 1+x^22+x^44+ldots=1+sumk=1^infty x^2 k2 k

Passo 1

O enunciado pede a forma fechada da série
1+x^22+x^44+cdots =1+sumk=1^inftyx^2k2k
O conteúdo usado é a expansão em série de potências do logaritmo:
sumk=1^inftyz^kk=-ln(1-z) para |z|<1.

Passo 2

Lembrando que, para |z|<1, vale
sumk=1^inftyz^kk=-ln(1-z)

Passo 3

Fazendo z=x^2 (logo |x|<1), obtemos
sumk=1^inftyx^2kk=-ln(1-x^2)

Passo 4

Dividindo essa igualdade por 2, vem
sumk=1^inftyx^2k2k =-12ln(1-x^2)

Passo 5

Somando 1 aos dois lados, concluímos
1+sumk=1^inftyx^2k2k =1-12ln(1-x^2)

Resposta

1-12ln(1-x^2)

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