Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
1.
Qual o centróide da região plana A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 6 e 0 <= y <= raiz36-x^2 ?

Passo 1

O enunciado define a região AsubsetR^2 dada por 0<= x<=6 e 0<= y<=raiz36-x^2. Geometricamente, trata-se de um quadrante de círculo de raio 6 no primeiro quadrante. Queremos encontrar o centróide (bar x,bar y) dessa região. Para isso, usaremos as fórmulas de momento estático:
bar x = 1Área(A)integral duplaA x,dA, bar y = 1Área(A)integral duplaA y,dA ÁÁ

Passo 2

Calcular a área de A. Como é um quarto de círculo de raio R=6, temos
Área(A) = pi R^24 = picdot6^24 = 9pi Á

Passo 3

Calcular bar x. Usamos
integral duplaA x,dA = integralx=0^6!integraly=0^raiz36-x^2 x,dy,dx = integral0^6 xraiz36-x^2,dx
Fazendo a substituição u=36-x^2implies du=-2x,dx, obtemos
integral0^6 xraiz36-x^2,dx = -12integral36^0 u^1/2,du = 12integral0^36 u^1/2,du = 12cdot23u^3/2|0^36 = 13cdot36^3/2 = 2163 =72
Portanto
bar x = 19picdot72 = 8pi

Passo 4

Por simetria entre x e y no quadrante de círculo, o cálculo de bar y é idêntico ao de bar x. Logo,
bar y = 8pi

Resposta

O centróide da região é
l(bar x,bar yr) = l(8pi, 8pir)

Exercícios relacionados