Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d yd x-3 x^2 y=e^x(3 x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial d yd x - 3 x^2 y = e^x(3 x^2-1). Esse exercício está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: dydx + P(x) y = Q(x). No nosso caso, a equação fica:
dydx - 3x^2 y = e^x(3x^2-1)
Aqui, P(x) = -3x^2 e Q(x) = e^x(3x^2 - 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Calculando a integral de P(x):
integral -3x^2 dx = -x^3 + C
Como o fator integrante não depende da constante de integração, temos:
mu(x) = e^-x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
e^-x^3 dydx - 3x^2 e^-x^3 y = e^-x^3 e^x (3x^2 - 1)
Simplificando o lado direito:
e^-x^3 + x (3x^2 - 1)

Passo 5

A equação fica agora:
ddx ( e^-x^3 y ) = e^-x^3 + x (3x^2 - 1)
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto e^-x^3 y. Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^-x^3 y ) dx = integral e^-x^3 + x (3x^2 - 1) dx

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simplesmente:
e^-x^3 y = integral e^-x^3 + x (3x^2 - 1) dx + C
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando a expressão e^-x^3 + x, podemos reescrever como e^x e^-x^3. A integral fica:
integral e^x e^-x^3 (3x^2 - 1) dx

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = -x^3 + x, então:
du = (-3x^2 + 1) dx
Observamos que -3x^2 + 1 está presente na integral, mas temos 3x^2 - 1, que é o oposto. Então:
3x^2 - 1 = -du
Substituindo na integral:
integral e^u (-du) = -integral e^u du = -e^u + C = -e^-x^3 + x + C

Passo 8

Voltando à equação anterior:
e^-x^3 y = -e^-x^3 + x + C
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por e^x^3:
y = -e^x + C e^x^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -e^x + C e^x^3

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