Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. No nosso caso, a equação fica:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Como o fator integrante não depende da constante de integração, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação fica agora:
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto
. Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando a expressão
, podemos reescrever como
. A integral fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então:
Observamos que
está presente na integral, mas temos
, que é o oposto. Então:
Substituindo na integral:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: