Assinale na alternativa que considerar correta em cada item:
1.
Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações x(t)=t^3-4 t e y(t)=raiz[3]t^2+2 t, no ponto (0,2) ?

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x(t)=t^3-4t, y(t)=raiz[3]t^2+2t
e pede a equação da reta normal no ponto (0,2).
Para isso, vamos:
  1. Determinar t tal que (x(t),y(t))=(0,2).
  2. Calcular dxdt e dydt.
  3. Encontrar a inclinação da reta tangente mrm tang=dy/dtdx/dt e então a da normal mrm norm=-1mrm tang.
  4. Usar a forma ponto-inclinação para achar a equação da reta normal.

Passo 2

Buscamos t resolvendo
t^3-4t=0e raiz[3]t^2+2t=2
Da primeira: t(t^2-4)=0 t=0,2,-2.
Testando na segunda:
y(2)=raiz[3]2^2+2cdot2=raiz[3]8=2,
enquanto em t=0 ou -2 obtém-se y=0.
Logo o ponto (0,2) corresponde a t=2.

Passo 3

Calculemos as derivadas em função de t:
dxdt=3t^2-4,
dydt =ddtl(t^2+2tr)^1/3 =13(t^2+2t)^-2/3cdot(2t+2)

Passo 4

Avaliamo-as em t=2:
dxdt|t=2=3cdot2^2-4=12-4=8,
dydt|t=2 =13,(8)^-2/3cdot(6) =63cdot4 =12,
pois 8^1/3=2 e 8^-2/3=1/4.
Assim a inclinação da tangente é
mrm tang =dy/dtdx/dt =tfrac128 =116,
e a da normal
mrm norm =-1mrm tang =-16

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação com (x0,y0)=(0,2) e m=-16:
y-2=-16(x-0) Longrightarrow y=-16x+2

Resposta

A reta normal à curva no ponto (0,2) é
y=-16x+2

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