(1+x) dy/dx - x y = x + x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a equação diferencial . Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Simplificando o lado direito:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
Substituindo P(x):
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe , então e . Substituindo na integral:
Retornando para x:
Simplificando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
Expandindo:
Resolvendo por partes ou usando integrais tabulares, encontramos:
Portanto:

Resposta

Isolando y, dividimos ambos os lados por :
Simplificando:
Onde C é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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