Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a equação diferencial
. Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Simplificando o lado direito:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe
, então
e
. Substituindo na integral:
Retornando para
:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
Expandindo:
Resolvendo por partes ou usando integrais tabulares, encontramos:
Portanto:
Resposta
Isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: