Encontre as constante a e b que tornam a função abaixo contínua em x = -1 е x = 2.
f(x) = { 2/x se x < -1 e x > 2, ax + b se -1 <= x <= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de continuidade de funções! A tarefa é encontrar os valores das constantes e que fazem com que a função seja contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender como garantir que os limites da função à esquerda e à direita desses pontos sejam iguais ao valor da função nesses mesmos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função :
Queremos que essa função seja contínua em e . Isso significa que o limite de quando se aproxima de esses pontos pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar garantindo a continuidade em .
Para que seja contínua em , o limite quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de .
Limite pela esquerda ( ):
Aqui, usamos a parte da função . Então:
Limite pela direita ( ):
Aqui, usamos a parte da função . Então:
Para continuidade:
çã

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em .
Limite pela esquerda ( ):
Usamos a parte da função . Então:
Limite pela direita ( ):
Usamos a parte da função . Então:
Para continuidade:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Primeiro, subtraia a Equação 1 da Equação 2:
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

As constantes que tornam a função contínua em e são e .

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