Encontre as constante
e
que tornam a função abaixo contínua em
е
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de continuidade de funções! A tarefa é encontrar os valores das constantes
e
que fazem com que a função
seja contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender como garantir que os limites da função à esquerda e à direita desses pontos sejam iguais ao valor da função nesses mesmos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
:
Queremos que essa função seja contínua em
e
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de esses pontos pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor da função nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar garantindo a continuidade em
.
Para que
seja contínua em
, o limite quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Limite pela esquerda (
):
Aqui, usamos a parte da função . Então:
Aqui, usamos a parte da função
Limite pela direita (
):
Aqui, usamos a parte da função . Então:
Aqui, usamos a parte da função
Para continuidade:
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em
.
Limite pela esquerda (
):
Usamos a parte da função . Então:
Usamos a parte da função
Limite pela direita (
):
Usamos a parte da função . Então:
Usamos a parte da função
Para continuidade:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeiro, subtraia a Equação 1 da Equação 2:
Agora que sabemos que
, podemos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
As constantes que tornam a função contínua em
e
são
e
.