Determine o limite, se ele existir, caso contrário, mostre que ele não existe. Justifique sua resposta.
c) lim (x, y) (0,0) x y^2(x^2+y^4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar diferentes caminhos que pode seguir para chegar a e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x cdot 0^2(x^2 + 0^4)^2 = 0x^4 = 0 . Substituindo na função, temos:
Então, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar pelo eixo 0 cdot y^2(0^2 + y^4)^2 = 0y^8 = 0 . Substituindo :
Também obtemos 0 nesse caminho.

Passo 4

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, x cdot (x^k)^2(x^2 + (x^k)^4)^2 = x cdot x^2k(x^2 + x^4k)^2 = x^1+2kx^4(1 + x^4k - 2)^2 = x^2k - 3(1 + x^4k - 2)^2 , onde é um número real positivo que vamos determinar. Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando .

Passo 5

Avaliando o expoente de na expressão :
  • Se , ou seja, , então quando .
  • Se , ou seja, , então a expressão se comporta como uma constante dividida por , resultando em um limite constante.
  • Se , ou seja, , então tende ao infinito quando .
Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido para .

Resposta

Como o limite da função depende do caminho escolhido para se aproximar de , o limite não existe.

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