Determine o limite, se ele existir, caso contrário, mostre que ele não existe. Justifique sua resposta.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar diferentes caminhos que
pode seguir para chegar a
e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar pelo eixo
. Substituindo
:
Também obtemos 0 nesse caminho.
Passo 4
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é um número real positivo que vamos determinar. Substituindo
na função:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
.
Passo 5
Avaliando o expoente de
na expressão
:
-
Se
, ou seja, , então quando . -
Se
, ou seja, , então a expressão se comporta como uma constante dividida por , resultando em um limite constante. -
Se
, ou seja, , então tende ao infinito quando .
Isso mostra que o limite depende do caminho escolhido para
.
Resposta
Como o limite da função
depende do caminho escolhido para
se aproximar de
, o limite não existe.