Considere a superfícic .
b) A superfície intercepta o plano em uma parábola. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa parábola no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma superfície definida pela equação e pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma parábola específica que essa superfície forma quando intercepta o plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e retas tangentes, além de entender um pouco sobre interseções de superfícies e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção da superfície com o plano . Para isso, substituímos na equação da superfície:
Então, a equação que representa a interseção é , que é uma parábola no plano .
Passo 3
Agora, vamos verificar o ponto dado na questão: . Vamos conferir se esse ponto está na parábola que acabamos de encontrar. Substituindo na equação da parábola:
Então, o ponto realmente está na parábola.
Passo 4
Para encontrar a reta tangente à parábola no ponto dado, precisamos determinar a direção dessa tangente. Vamos parametrizar a parábola para facilitar:
Como é constante, podemos usar como parâmetro. Assim, a parametrização da curva é:
Agora, vamos calcular a derivada da posição vetorial em relação a para encontrar o vetor tangente. A posição vetorial é:
Derivando em relação a :
No ponto onde , o vetor tangente fica:
Passo 5
Com o vetor tangente e o ponto , podemos montar as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
Onde é o ponto dado e é o vetor tangente. Substituindo:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à parábola no ponto são: