Considere a superfícic z = 2x^2 - y^2.
b) A superfície z intercepta o plano x = -2 em uma parábola. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa parábola no ponto -2, 2, 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma superfície definida pela equação e pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma parábola específica que essa superfície forma quando intercepta o plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e retas tangentes, além de entender um pouco sobre interseções de superfícies e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção da superfície com o plano . Para isso, substituímos na equação da superfície:
Então, a equação que representa a interseção é , que é uma parábola no plano .

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto dado na questão: . Vamos conferir se esse ponto está na parábola que acabamos de encontrar. Substituindo na equação da parábola:
Então, o ponto realmente está na parábola.

Passo 4

Para encontrar a reta tangente à parábola no ponto dado, precisamos determinar a direção dessa tangente. Vamos parametrizar a parábola para facilitar:
Como é constante, podemos usar como parâmetro. Assim, a parametrização da curva é:
Agora, vamos calcular a derivada da posição vetorial em relação a para encontrar o vetor tangente. A posição vetorial é:
Derivando em relação a :
No ponto onde , o vetor tangente fica:

Passo 5

Com o vetor tangente e o ponto , podemos montar as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
Onde é o ponto dado e é o vetor tangente. Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à parábola no ponto são:

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