[2] Calcule as derivada
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações importantes que já temos: a função é uma fração de polinômios e não está definida em . A tarefa é determinar
, a taxa de variação de
em função de
.
Informações importantes que já temos: a função é uma fração de polinômios e não está definida em
Passo 2
Breve aula sobre o que vamos usar (sem velocidade, devagarinho!): a derivada de uma função mede a inclinação da reta tangente ao gráfico. Para funções que são quociente de duas funções
e
(ou seja,
), usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz:
Aqui:
-
é o numerador; -
é o denominador; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Também vamos usar regras básicas:
- Derivada de uma constante é
. - Derivada de
é (pois é a regra do poder com expoente ). - Derivada de
é pelo uso da regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente à nossa função: escolha
e
. Então primeiro calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Um jeito alternativo (às vezes mais rápido na prova) é simplificar a função antes de derivar: fazer a divisão polinomial
porque
e
. Derivando a forma simplificada:
o mesmo resultado — bom sinal!
Passo 5
Observação importante sobre domínio: a expressão de
só vale para
, porque a função original não está definida em
(e o denominador de
também se anula aí). Fora isso, a derivada é
.