[2] Calcule as derivada
f(x)=\frac{2 x-1}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x+3}.
Informações importantes que já temos: a função é uma fração de polinômios e não está definida em \displaystyle x=-3. A tarefa é determinar f'(x), a taxa de variação de f em função de x.

Passo 2

Breve aula sobre o que vamos usar (sem velocidade, devagarinho!): a derivada de uma função mede a inclinação da reta tangente ao gráfico. Para funções que são quociente de duas funções u(x) e v(x) (ou seja, f=\dfrac{u}{v}), usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
Também vamos usar regras básicas:
  • Derivada de uma constante é 0.
  • Derivada de ax é a (pois é a regra do poder com expoente 1).
  • Derivada de (x+3)^{-1} é -1\,(x+3)^{-2} pelo uso da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente à nossa função: escolha u(x)=2x-1 e v(x)=x+3. Então primeiro calculamos u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x-1)=2, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(x+3)=1.
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2(x+3)-(2x-1)\cdot 1}{(x+3)^{2}}.
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
2(x+3)=2x+6, \qquad (2x-1)\cdot 1=2x-1,
2(x+3)-(2x-1)=2x+6-(2x-1)=2x+6-2x+1=7.
Portanto
f'(x)=\frac{7}{(x+3)^{2}}.

Passo 4

Um jeito alternativo (às vezes mais rápido na prova) é simplificar a função antes de derivar: fazer a divisão polinomial
\frac{2x-1}{x+3}=2-\frac{7}{x+3},
porque 2(x+3)=2x+6 e (2x-1)-(2x+6)=-7. Derivando a forma simplificada:
f(x)=2-7(x+3)^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=0-7\cdot(-1)(x+3)^{-2}\cdot 1=\frac{7}{(x+3)^{2}},
o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 5

Observação importante sobre domínio: a expressão de f'(x) só vale para x\neq -3, porque a função original não está definida em \displaystyle x=-3 (e o denominador de f'(x) também se anula aí). Fora isso, a derivada é \displaystyle \frac{7}{(x+3)^{2}}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{7}{(x+3)^{2}}

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