Exprima os números complexos do exercício 1 na forma exponencial.
2^{50} e^{\frac{\pi}{2} i}

Passo 1

O enunciado pede para expressar os números complexos
z_{1} = 2^{50} \quad\text{e}\quad z_{2} = e^{\frac{\pi}{2}\mathrm{i}}
na forma exponencial r\,e^{\mathrm{i}\theta}. Para isso precisamos determinar, em cada caso, o módulo r e um argumento \theta. Lembrando que a forma exponencial geral de um complexo é
z = r\,e^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Analisando
z_{1} = 2^{50},
vemos que é um real positivo.
O módulo é
|z_{1}| = 2^{50},
e o argumento principal é
\arg(z_{1}) = 0.
Portanto sua forma exponencial é
z_{1} = 2^{50}\,e^{\mathrm{i}(0+2k\pi)} = 2^{50}\,e^{2k\pi\mathrm{i}},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Analisando
z_{2} = e^{\frac{\pi}{2}\mathrm{i}},
vemos que já está em forma exponencial.
O módulo é
|z_{2}| = 1,
e o argumento principal é
\arg(z_{2}) = \frac{\pi}{2}.
Logo a forma exponencial geral é
z_{2} = e^{\mathrm{i}\bigl(\frac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z_{1} = 2^{50}\,e^{2k\pi\mathrm{i}},\;k\in\mathbb{Z}, \quad z_{2} = e^{\mathrm{i}\bigl(\frac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)},\;k\in\mathbb{Z}.

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