[2,0] 3) Considere as bases \beta_{1}=\{1, t\} e \beta_{2}=\{1,1-t\} em P_{1}(\mathbb{R}). Calcule [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} \mathrm{e}[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{1}}.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes do operador identidade
I: P_{1}(\mathbb{R}) \to P_{1}(\mathbb{R})
entre as bases \beta_{1} = \{1, t\} e \beta_{2} = \{1,\,1 - t\}.
Para qualquer par de bases B (domínio) e C (codomínio), a matriz [I]_{B}^{C} tem como colunas as coordenadas, em C, dos vetores de B.

Passo 2

Calcular [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{1}}.
Domínio \beta_{2}=(\,1,\;1-t), imagem em \beta_{1}=(1,t):
1 = 1\cdot1 + 0\cdot t,
1 - t = 1\cdot1 + (-1)\cdot t.
As coordenadas ficam (1,0) e (1,-1). Assim
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}.
Domínio \beta_{1}=(\,1,\;t), imagem em \beta_{2}=(1,1-t):
1 = 1\cdot1 + 0\cdot(1-t),
t = 1\cdot1 + (-1)\cdot(1-t).
As coordenadas são (1,0) e (1,-1). Logo
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} =\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{1}}.
Quando a base de domínio e codomínio é a mesma ( \beta_{1}), a matriz do operador identidade é a identidade:
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados