Prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um espaço vetorial
, se
,
então
.
O conteúdo é o conceito de subespaço gerado (span) e inclusões de conjuntos. Vamos usar a definição de span como o conjunto de todas as combinações lineares e mostrar as duas inclusões de conjuntos.
então
O conteúdo é o conceito de subespaço gerado (span) e inclusões de conjuntos. Vamos usar a definição de span como o conjunto de todas as combinações lineares e mostrar as duas inclusões de conjuntos.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Seja . Então existem escalares
tais que
Seja
Mas também podemos escrever
o que mostra que
é combinação linear de
. Logo
,
provarndo a inclusão.
provarndo a inclusão.
Passo 3
Agora mostramos
.
Como , existem escalares
tais que
Como
Seja
. Então existem escalares
com
Substituindo
pela combinação acima, obtemos
Isso mostra que
é combinação linear apenas de
e
, logo
.
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões
concluímos a igualdade dos conjuntos.