[2,0] 4) Prove que se v_{3} \in\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle, então \left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle=\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um espaço vetorial V, se
\;v_{3}\in\langle v_{1},v_{2}\rangle,
então
\;\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle=\langle v_{1},v_{2}\rangle.
O conteúdo é o conceito de subespaço gerado (span) e inclusões de conjuntos. Vamos usar a definição de span como o conjunto de todas as combinações lineares e mostrar as duas inclusões de conjuntos.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\;\langle v_{1},v_{2}\rangle\subseteq\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle.
Seja x\in\langle v_{1},v_{2}\rangle. Então existem escalares a,b tais que
x = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Mas também podemos escrever
x = a\,v_{1} + b\,v_{2} + 0\cdot v_{3},
o que mostra que x é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}. Logo
\;x\in\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle,
provarndo a inclusão.

Passo 3

Agora mostramos
\;\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle\subseteq\langle v_{1},v_{2}\rangle.
Como v_{3}\in\langle v_{1},v_{2}\rangle, existem escalares \alpha,\beta tais que
v_{3} = \alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2}.
Seja y\in\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle. Então existem escalares a,b,c com
y = a\,v_{1} + b\,v_{2} + c\,v_{3}.
Substituindo v_{3} pela combinação acima, obtemos
y = a\,v_{1} + b\,v_{2} + c(\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2}) = (a + c\alpha)\,v_{1} + (b + c\beta)\,v_{2}.
Isso mostra que y é combinação linear apenas de v_{1} e v_{2}, logo y\in\langle v_{1},v_{2}\rangle.

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões
\langle v_{1},v_{2}\rangle\subseteq\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle \quad\text{e}\quad \langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle\subseteq\langle v_{1},v_{2}\rangle,
concluímos a igualdade dos conjuntos.

Resposta

\langle v_{1},v_{2},v_{3}\rangle = \langle v_{1},v_{2}\rangle.

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