[2,0]5) Considere o subespaço de \mathbb{R}^{4}
S=\langle[1,1,-2,4],(1,-1,2),(0,4,4,8)\rangle
Os vetores v_{1}=\left(\frac{1}{2}, 1,-1,2\right) e v_{2}=(0,0,1,1) estão em S ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o subespaço S\subset\mathbb{R}^4 como o span de três vetores, mas o segundo gerador está dado como (1,-1,2), que só tem três coordenadas em vez de quatro. Para testar se v_{1} ou v_{2} pertencem a S, precisaríamos resolver sistemas lineares do tipo
\alpha\,[1,1,-2,4]+\beta\,(1,-1,2,\,?)+\gamma\,[0,4,4,8]=v_i.
Sem a quarta coordenada do segundo vetor gerador não temos como montar corretamente esses sistemas.

Resposta

Não é possível determinar se v_{1} e v_{2} estão em S porque o segundo vetor gerador de S está incompleto (falta sua quarta coordenada).

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