[2,0]1) Considere os subespaços de
Ache uma base de
e
e dê a dimensão de cada um.
Passo 1
O enunciado pede as bases e dimensões dos subespaços
do seu somatório
e da interseção
. Para isso vamos parametrizar cada um, encontrando vetores livres que geram o espaço, e depois usar a fórmula de Grassmann para achar
.
Passo 2
Para achar uma base de
, imponho
Logo um vetor genérico de
é
Esses três vetores são linearmente independentes e geram
, então
e
.
Passo 3
Para
uso
Assim
Portanto
e
.
Passo 4
Para
Subtraindo a segunda da primeira vem
obtemos
. Logo
Daí
e
.
Passo 5
Pela fórmula de Grassmann,
Como
tem dimensão 4, segue que
. Podemos então escolher a base canônica de
para
:
e
.
Resposta
Base de
:
, dimensão 3
Base de :
, dimensão 3
Base de :
, dimensão 2
Base de :
, dimensão 4
Base de
Base de
Base de