[2,0]1) Considere os subespaços de \mathbb{R}^{4}
\begin{gathered} U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y-z+t=0\right\} \\\ V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y+t=0\right\} \end{gathered}
Ache uma base de U, V, U+V e U \cap V e dê a dimensão de cada um.

Passo 1

O enunciado pede as bases e dimensões dos subespaços
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y-z+t=0\},\quad V=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y+t=0\},
do seu somatório U+V e da interseção U\cap V. Para isso vamos parametrizar cada um, encontrando vetores livres que geram o espaço, e depois usar a fórmula de Grassmann para achar \dim(U+V).

Passo 2

Para achar uma base de U, imponho
x - y - z + t = 0\implies x = y+z - t.
Logo um vetor genérico de U é
(x,y,z,t)=(y+z-t,\;y,\;z,\;t) = y\,(1,1,0,0)+z\,(1,0,1,0)+t\,(-1,0,0,1).
Esses três vetores são linearmente independentes e geram U, então
\text{Base de }U = \{(1,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
e \dim(U)=3.

Passo 3

Para V uso
x - y + t = 0\implies x = y - t.
Assim
(x,y,z,t) = (y-t,\;y,\;z,\;t) = y\,(1,1,0,0)+z\,(0,0,1,0)+t\,(-1,0,0,1).
Portanto
\text{Base de }V = \{(1,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},
e \dim(V)=3.

Passo 4

Para U\cap V\) resolvo o sistema \[\begin{cases} x - y - z + t = 0,\\\ x - y + t = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem -z=0\implies z=0\]. E de \(x-y+t=0 obtemos x=y-t. Logo
(x,y,0,t)=(y-t,\;y,\;0,\;t) = y\,(1,1,0,0)+t\,(-1,0,0,1).
Daí
\text{Base de }U\cap V=\{(1,1,0,0),\;(-1,0,0,1)\},
e \dim(U\cap V)=2.

Passo 5

Pela fórmula de Grassmann,
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V)=3+3-2=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que U+V=\mathbb{R}^4. Podemos então escolher a base canônica de \mathbb{R}^4 para U+V:
\text{Base de }U+V=\{(1,0,0,0),\;(0,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(0,0,0,1)\},
e \dim(U+V)=4.

Resposta

Base de U: \{(1,1,0,0),\,(1,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\}, dimensão 3
Base de V: \{(1,1,0,0),\,(0,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\}, dimensão 3
Base de U\cap V: \{(1,1,0,0),\,(-1,0,0,1)\}, dimensão 2
Base de U+V: \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}, dimensão 4

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