[2,0] Sejam U e V dois espaços vetoriais, amboś de dimensão 3, e T: U \rightarrow V uma transformaçāo linear injetiva. Verifique que, se o conjunto de vetores B=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} é uma base de U, entào o conjunto C=\left\{T\left(u_{1}\right), T\left(u_{2}\right), T\left(u_{3}\right)\right\} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados: U e V são espaços vetoriais com \dim U = \dim V = 3.
  • Dado: T:U\to V é uma transformação linear injetiva.
  • Dado: B=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de U.
  • Pergunta: mostrar que C=\{T(u_{1}),T(u_{2}),T(u_{3})\} é uma base de V.

Passo 2

Lembretes e definições que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Base: um subconjunto S de um espaço vetorial é base se S é linearmente independente e gera (gera = \operatorname{span}S é todo o espaço).
  • Linearmente independente (LI): um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única relação linear que dá zero é a trivial: se
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k = 0
então \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Gerar/espaço gerado: \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k.
  • Núcleo (kernel) de T: \ker T=\{u\in U: T(u)=0\}. Para uma transformação linear, T é injetiva exatamente quando \ker T=\{0\}.
  • Fato útil (sobre dimensão): num espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é automaticamente uma base (porque não é possível ter mais do que n vetores LI; se há n LI, eles já têm a máxima cardinalidade e, portanto, geram o espaço).

Passo 3

Mostrar que \ker T=\{0\}.
Como T é injetiva, por definição se T(u)=T(v) então u=v. Em particular, se T(u)=0 e T(0)=0, a injetividade dá u=0. Logo
\ker T=\{u\in U: T(u)=0\}=\{0\}.

Passo 4

Provar que C=\{T(u_1),T(u_2),T(u_3)\} é linearmente independente.
Faça a hipótese de que existe uma relação linear entre os vetores de C:
\alpha_1 T(u_1)+\alpha_2 T(u_2)+\alpha_3 T(u_3)=0.
Usando linearidade de T podemos fatorar:
T(\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\alpha_3 u_3)=0.
Isto implica que \alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\alpha_3 u_3 \in \ker T. Pelo Passo 3, \ker T=\{0\}, então
\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\alpha_3 u_3 = 0.
Mas B=\{u_1,u_2,u_3\} é uma base de U, portanto é linearmente independente; daí segue que
\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
Concluímos que a única relação linear que anula a combinação dos vetores de C é a trivial, ou seja, C é linearmente independente.

Passo 5

Usar a dimensão para concluir que C é base de V.
Já mostramos que C é um conjunto de 3 vetores linearmente independentes em V. Como \dim V=3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes em V tem cardinalidade igual à dimensão do espaço, e portanto é uma base — isto porque não existe conjunto linearmente independente com mais de \dim V vetores; ter 3 vetores LI em espaço de dimensão 3 significa que eles já atingem a máxima cardinalidade possível de um conjunto LI, então obrigatoriamente geram V.
Mais formalmente: se um conjunto \{w_1,\dots,w_n\} é LI em um espaço de dimensão n, então não existe vetor em V fora do span desses vetores sem produzir um conjunto LI de cardinalidade maior que n, o que é impossível. Logo \operatorname{span}\{w_1,\dots,w_n\}=V.
Aplicando isso a C, obtemos que C gera V e, combinado com a LI do Passo 4, C é uma base de V.

Passo 6

Observação alternativa (curta): como T é linear e injetiva e \dim U=\dim V, pela fórmula do posto-núcleo (rank-nullity) temos \operatorname{rank}T=\dim U-\dim\ker T=3-0=3. Assim \operatorname{Im}T tem dimensão 3, logo \operatorname{Im}T=V e T é sobrejetiva; portanto as imagens dos vetores de uma base de U geram V. Juntando com a LI já mostrada, dá de novo que C é base. Esta é uma maneira alternativa e curta de ver o mesmo resultado.

Resposta

C é uma base de V.

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