Sejam
e
dois espaços vetoriais, amboś de dimensão 3, e
uma transformaçāo linear injetiva. Verifique que, se o conjunto de vetores
é uma base de
, entào o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dados:
e são espaços vetoriais com . - Dado:
é uma transformação linear injetiva. - Dado:
é uma base de . - Pergunta: mostrar que
é uma base de .
Passo 2
Lembretes e definições que vamos usar (explicados de forma simples):
- Base: um subconjunto
de um espaço vetorial é base se é linearmente independente e gera (gera = é todo o espaço). - Linearmente independente (LI): um conjunto
é LI se a única relação linear que dá zero é a trivial: se
então
.
- Gerar/espaço gerado:
é o conjunto de todas as combinações lineares . - Núcleo (kernel) de
: . Para uma transformação linear, é injetiva exatamente quando . - Fato útil (sobre dimensão): num espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes é automaticamente uma base (porque não é possível ter mais do que vetores LI; se há LI, eles já têm a máxima cardinalidade e, portanto, geram o espaço).
Passo 3
Mostrar que
.
Como
é injetiva, por definição se
então
. Em particular, se
e
, a injetividade dá
. Logo
Passo 4
Provar que
é linearmente independente.
Faça a hipótese de que existe uma relação linear entre os vetores de
:
Usando linearidade de
podemos fatorar:
Isto implica que
. Pelo Passo 3,
, então
Mas
é uma base de
, portanto é linearmente independente; daí segue que
Concluímos que a única relação linear que anula a combinação dos vetores de
é a trivial, ou seja,
é linearmente independente.
Passo 5
Usar a dimensão para concluir que
é base de
.
Já mostramos que
é um conjunto de 3 vetores linearmente independentes em
. Como
, qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes em
tem cardinalidade igual à dimensão do espaço, e portanto é uma base — isto porque não existe conjunto linearmente independente com mais de
vetores; ter
vetores LI em espaço de dimensão
significa que eles já atingem a máxima cardinalidade possível de um conjunto LI, então obrigatoriamente geram
.
Mais formalmente: se um conjunto
é LI em um espaço de dimensão
, então não existe vetor em
fora do span desses vetores sem produzir um conjunto LI de cardinalidade maior que
, o que é impossível. Logo
.
Aplicando isso a
, obtemos que
gera
e, combinado com a LI do Passo 4,
é uma base de
.
Passo 6
Observação alternativa (curta): como
é linear e injetiva e
, pela fórmula do posto-núcleo (rank-nullity) temos
. Assim
tem dimensão
, logo
e
é sobrejetiva; portanto as imagens dos vetores de uma base de
geram
. Juntando com a LI já mostrada, dá de novo que
é base. Esta é uma maneira alternativa e curta de ver o mesmo resultado.