Nos Problemas 19-22, resolva cada equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de ordem três com coeficientes constantes
O método a usar é o de coeficientes indeterminados, que consiste em obter primeiro a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular adequada ao segundo membro.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada:
A equação característica é
Testando raízes inteiras, vemos que
é raiz. Fazendo a divisão sintética ou polinomial, obtemos o fator restante
, cujas raízes são
Logo, a solução geral da homogênea é
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
Como o segundo membro é soma de um termo constante e de um termo
, propomos
- Substituindo
(parte constante) em vem - Para a parte trigonométrica calculamos derivadas:
Substituindo na equação, obtemos e isso deve igualar . Assim, Da segunda equação vem (A = 11B]. Substituindo na primeira:
Passo 4
A solução particular completa é
Portanto, a solução geral da equação original é