Nos Problemas 19-22, resolva cada equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+6 y=2 \operatorname{sen} x+8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de ordem três com coeficientes constantes
y''' - 5y'' + 6y = 2\operatorname{sen} x + 8.
O método a usar é o de coeficientes indeterminados, que consiste em obter primeiro a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular adequada ao segundo membro.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y''' - 5y'' + 6y = 0.
A equação característica é
r^3 - 5r^2 + 6 = 0.
Testando raízes inteiras, vemos que r = -1 é raiz. Fazendo a divisão sintética ou polinomial, obtemos o fator restante r^2 - 6r + 6, cujas raízes são
r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{(3+\sqrt{3})x} + C_3 e^{(3-\sqrt{3})x},
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p\) para \[y''' - 5y'' + 6y = 2\operatorname{sen} x + 8.
Como o segundo membro é soma de um termo constante e de um termo \sin x, propomos
y_p = A\operatorname{sen} x + B\cos x + D.
  1. Substituindo y_p = D (parte constante) em y''' - 5y'' + 6y vem 0 - 0 + 6D = 8 \quad\Longrightarrow\quad D = \tfrac{4}{3}.
  2. Para a parte trigonométrica calculamos derivadas: y_p' = A\cos x - B\operatorname{sen} x, \quad y_p'' = -A\operatorname{sen} x - B\cos x, \quad y_p''' = -A\cos x + B\operatorname{sen} x.Substituindo na equação, obtemos y_p''' - 5y_p'' + 6y_p = (11A + B)\operatorname{sen} x + (-A + 11B)\cos xe isso deve igualar 2\operatorname{sen} x + 0\cos x. Assim, \begin{cases} 11A + B = 2,\\\\ -A + 11B = 0. \end{cases}Da segunda equação vem (A = 11B]. Substituindo na primeira:
    11\,(11B) + B = 2 \;\Longrightarrow\; 122B = 2 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{1}{61}, \quad A = \tfrac{11}{61}.

Passo 4

A solução particular completa é
y_p = \frac{11}{61}\operatorname{sen} x + \frac{1}{61}\cos x + \frac{4}{3}.
Portanto, a solução geral da equação original é
y = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{(3+\sqrt{3})x} + C_3 e^{(3-\sqrt{3})x} + \frac{11}{61}\operatorname{sen} x + \frac{1}{61}\cos x + \frac{4}{3}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{(3+\sqrt{3})x} + C_3 e^{(3-\sqrt{3})x} + \frac{11}{61}\operatorname{sen} x + \frac{1}{61}\cos x + \frac{4}{3}.

Exercícios relacionados