[2,0] Uma lata tem um volume de 1400 \mathrm{~cm}^{\wedge} 3 e l massa de 150 g . Qual deve ser a massa de ferro em gramas que pode ser colocada dentro da lata para afundá-la pela netade do volume na água? dado: densidade do ferro 7,87 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{\wedge} 3.

Passo 1

O enunciado dá uma lata de volume interno V=1400\\ \mathrm{cm}^3 e massa própria m_{\rm lata}=150\\ \mathrm g. Queremos acrescentar uma massa de ferro m_{\rm Fe} de densidade \rho_{\rm Fe}=7{,}87\\ \mathrm{g/cm}^3 de modo que, em equilíbrio flutuando, apenas metade do volume da lata fique submerso. Para resolver, usaremos o princípio de Arquimedes: o empuxo iguala o peso do conjunto lat a+ferro.

Passo 2

Chamando \rho_{\rm água}=1\\ \mathrm{g/cm}^3á a densidade da água e V_{\rm sub} o volume submerso, em equilíbrio temos
(m_{\rm lata}+m_{\rm Fe})\,g \;=\;\rho_{\rm água}\,V_{\rm sub}\,g.á
Cancelando g,
m_{\rm lata}+m_{\rm Fe} \;=\;\rho_{\rm água}\,V_{\rm sub}\,.á

Passo 3

Como queremos metade do volume submerso, V_{\rm sub}=V/2=1400/2=700\\ \mathrm{cm}^3. Substituindo,
m_{\rm lata}+m_{\rm Fe}=1\cdot700=700\\ \mathrm g \quad\Longrightarrow\quad m_{\rm Fe}=700-150=550\\ \mathrm g.

Passo 4

Podemos checar que esse ferro cabe na lata:
V_{\rm Fe}=\frac{m_{\rm Fe}}{\rho_{\rm Fe}} =\frac{550}{7{,}87}\approx69{,}9\\ \mathrm{cm}^3 <1400\\ \mathrm{cm}^3,
logo não extrapola a capacidade do recipiente.

Resposta

A massa de ferro necessária é 550\\ \mathrm g.

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