Questão 4. Considere um sistema composto por três partículas de massas m_{1}=3 m, m_{2}=4 m e m_{3}=2 m, localizadas, respectivamente, em (b, 0, b),(b, b,-b) e (-b, b, 0). Encontre o tensor momento de inérica, os eixos principais de inérica e os momentos principais de inéricia.

Passo 1

O enunciado pede para um conjunto de três partículas com massas
\,m_{1}=3m, \,m_{2}=4m, \,m_{3}=2m
nos pontos
(b,0,b), (b,b,-b) e ( -b,b,0).
Conteúdo: tensor de inércia de um conjunto de pontos e sua diagonalização (autovalores e autovetores).
Precisamos usar a fórmula para o tensor de inércia em coordenadas cartesianas:
I_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} m_{k}\,\bigl(\delta_{ij}\,r_{k}^{2}\;-\;x_{i}^{(k)}\,x_{j}^{(k)}\bigr),
onde r_{k}^{2}=x^{(k)\,2}+y^{(k)\,2}+z^{(k)\,2}.

Passo 2

Calcular cada componente I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz} somando as três partículas.
Para cada partícula k:
  • I_{xx}^{(k)}=m_{k}\,\bigl(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\bigr),
  • I_{yy}^{(k)}=m_{k}\,\bigl(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\bigr),
  • I_{zz}^{(k)}=m_{k}\,\bigl(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\bigr),
  • I_{xy}^{(k)}=-\,m_{k}\,x_{k}\,y_{k}, e análogos para I_{xz},I_{yz}.
Fazendo as contas (com b^{2} comum):
  • Partícula 1 \,(b,0,b),\,m_{1}=3m:
    I_{xx}^{(1)}=3m\,b^{2},\;I_{yy}^{(1)}=6m\,b^{2},\;I_{zz}^{(1)}=3m\,b^{2},\;I_{xz}^{(1)}=-3m\,b^{2},\;I_{xy}^{(1)}=I_{yz}^{(1)}=0.
  • Partícula 2 \,(b,b,-b),\,m_{2}=4m:
    I_{xx}^{(2)}=8m\,b^{2},\;I_{yy}^{(2)}=8m\,b^{2},\;I_{zz}^{(2)}=8m\,b^{2},\;I_{xy}^{(2)}=-4m\,b^{2},\;I_{xz}^{(2)}=+4m\,b^{2},\;I_{yz}^{(2)}=+4m\,b^{2}.
  • Partícula 3 \,(-b,b,0),\,m_{3}=2m:
    I_{xx}^{(3)}=2m\,b^{2},\;I_{yy}^{(3)}=2m\,b^{2},\;I_{zz}^{(3)}=4m\,b^{2},\;I_{xy}^{(3)}=+2m\,b^{2},\;I_{xz}^{(3)}=I_{yz}^{(3)}=0.
Somando tudo:
I_{xx}=(3+8+2)\,m\,b^{2}=13\,m\,b^{2},\quad I_{yy}=16\,m\,b^{2},\quad I_{zz}=15\,m\,b^{2},
I_{xy}=(-4+2)\,m\,b^{2}=-2\,m\,b^{2},\quad I_{xz}=(-3+4)\,m\,b^{2}=1\,m\,b^{2},\quad I_{yz}=4\,m\,b^{2}.

Passo 3

Escrevendo o tensor de inércia na base (x,y,z):
I \;=\; m\,b^{2}\, \begin{pmatrix} 13 & -2 & 1 \\\\ -2 & 16 & 4 \\\\ 1 & 4 & 15 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar os momentos principais precisamos resolver o polinômio característico de
\displaystyle A=\begin{pmatrix}13&-2&1\\\ -2&16&4\\\ 1&4&15\end{pmatrix}:
\det(A-\lambda I)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda^{3}-44\lambda^{2}+622\lambda-2820=0.
Testando raízes inteiras vê-se \lambda=10 é solução. Fazendo a divisão sintética sobra
\lambda^{2}-34\lambda+282=0, com raízes
\lambda=17\pm\sqrt{7}.

Passo 5

Os autovalores de I são \,m\,b^{2} vezes esses \lambda. Logo os momentos principais são
I_{1}=10\,m\,b^{2},\quad I_{2}=(17+\sqrt{7})\,m\,b^{2},\quad I_{3}=(17-\sqrt{7})\,m\,b^{2}.

Passo 6

Para cada \lambda achamos o autovetor resolvendo (A-\lambda I)\,\mathbf{v}=0.
  • Para \lambda=10: solução \mathbf{v}_{1}\propto(1,1,-1).
  • Para \lambda=17+\sqrt7:
    \mathbf{v}_{2}\propto\bigl(1,\,-(3+\sqrt7),\,-(2+\sqrt7)\bigr).
  • Para \lambda=17-\sqrt7:
    \mathbf{v}_{3}\propto\bigl(1,\,-(3-\sqrt7),\,-(2-\sqrt7)\bigr).
Esses três vetores formam os eixos principais de inércia.

Resposta

Tensor de inércia na base (x,y,z):
I = m\,b^{2}\, \begin{pmatrix} 13 & -2 & 1\\\\ -2 & 16 & 4\\\\ 1 & 4 & 15 \end{pmatrix}.
Momentos principais:
I_{1}=10\,m\,b^{2},\quad I_{2}=(17+\sqrt{7})\,m\,b^{2},\quad I_{3}=(17-\sqrt{7})\,m\,b^{2}.
Eixos principais (autovetores não normalizados):
\mathbf{v}_{1}=(1,\,1,\,-1),\quad \mathbf{v}_{2}=\bigl(1,\,-(3+\sqrt{7}),\,-(2+\sqrt{7})\bigr),\quad \mathbf{v}_{3}=\bigl(1,\,-(3-\sqrt{7}),\,-(2-\sqrt{7})\bigr).

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