Num circuito LC oscilante, que carga, expressa em termos da carga máxima, estará presente no capacitor, quando a energia armazenada no campo elétrico for 50 % da energia total no circuito ? (b) Em que instante, expresso como fração do período, terá lugar essa condição, supondo que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado ?

Passo 1

O enunciado trata de um circuito oscilante LC sem perdas, no qual a energia total
E_{\rm tot}=\frac{Q_{\max}^2}{2C}
permanece constante, dividindo-se entre energia elétrica no capacitor
U_E=\frac{Q^2}{2C}
e energia magnética na bobina
U_B=\frac{1}{2}L\,I^2.
Queremos (a) a carga Q, em função de Q_{\max}, tal que U_E=0,5\,E_{\rm tot} e (b) o instante, em fração do período T, onde isso ocorre, supondo Q(0)=Q_{\max}.

Passo 2

Escrevendo a razão da energia elétrica para a total:
\frac{U_E}{E_{\rm tot}} =\frac{\displaystyle\frac{Q^2}{2C}}{\displaystyle\frac{Q_{\max}^2}{2C}} =\Bigl(\frac{Q}{Q_{\max}}\Bigr)^2.
Impor U_E=0,5\,E_{\rm tot} equivale a
\Bigl(\frac{Q}{Q_{\max}}\Bigr)^2=0,5.

Passo 3

Extraindo Q em função de Q_{\max}:
\frac{Q}{Q_{\max}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad Q=\pm\frac{Q_{\max}}{\sqrt{2}}.
Em módulo, a carga vale \tfrac{Q_{\max}}{\sqrt{2}}.

Passo 4

No regime livre Q(t)=Q_{\max}\cos(\omega t) com \omega=2\pi/T. Para que
\cos(\omega t)=\frac{1}{\sqrt{2}}
e Q seja positivo, basta tomar o primeiro instante
\omega t=\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\pi}{4\omega}.

Passo 5

Como \omega=2\pi/T, temos
t=\frac{\pi}{4}\,\frac{T}{2\pi}=\frac{T}{8}.

Resposta

Q = \displaystyle\frac{Q_{\max}}{\sqrt{2}} (em módulo).
Instante: t=\tfrac{T}{8}.

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