[3,0] Se a forma de uma onda Estacionária na corda (resultante da interferência de duas ondas progressivas) é descrita pela expressão \mathrm{Y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(0,05 \mathrm{~m}) \operatorname{Sen}[250(\mathrm{rad} / \mathrm{m}) \mathrm{x}] \cos [(4500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t})]. Determine (a) a amplitude das ondas que se interferem, (b) a frequência das ondas que se interferem, (c) o comprimento de onda das ondas que se interferem (d) a velocidade de propagação das ondas. (e) O ponto localizado em X=0 \mathrm{~m} é um nó ou um ventre da onda estacionária? (f) Localize os três Nós consecutivos a partir de X=0. ( g ) determine a localização de três ventres consecutivos ( h ) Determine dois instantes em que a corda passe pela origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma de uma onda estacionária numa corda
Y(x,t) = (0,05\text{ m})\,\operatorname{sen}\bigl[250\text{ rad/m}\;x\bigr]\;\cos\bigl[(4500\text{ rad/s})\;t\bigr].
Isso vem da interferência de duas ondas progressivas idênticas, cada uma de amplitude A, número de onda k=250 rad/m e frequência angular \omega=4500 rad/s. Vamos usar as relações de onda estacionária e as fórmulas
Y(x,t)=2A\;\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t),\quad f=\frac{\omega}{2\pi},\quad \lambda=\frac{2\pi}{k},\quad v=\frac{\omega}{k},
além das condições de nós e ventres.

Passo 2

Comparando
Y(x,t)=2A\;\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)
com
Y(x,t)=0,05\;\operatorname{sen}(250x)\cos(4500t),
vemos que 2A=0,05 m. Logo a amplitude de cada onda progressiva é
A = \frac{0,05\text{ m}}{2} = 0,025\text{ m}.

Passo 3

A frequência f das ondas é dada por
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4500\text{ rad/s}}{2\pi}\approx 716{,}2\text{ Hz}.

Passo 4

O comprimento de onda \lambda satisfaz
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{250\text{ rad/m}}\approx 0,02513\text{ m},
e a velocidade de propagação é
v = \frac{\omega}{k} = \frac{4500\text{ rad/s}}{250\text{ rad/m}} = 18\text{ m/s}.

Passo 5

Em x=0 temos \operatorname{sen}(kx)=\operatorname{sen}(0)=0. Como ali Y(0,t)=0 para todo t, x=0 é um .

Passo 6

Os nós satisfazem \operatorname{sen}(kx)=0\Rightarrow kx = n\pi. Assim
x_n = \frac{n\pi}{k} = n\;\frac{\lambda}{2},\quad n=0,1,2,\dots
Os três primeiros nós a partir de x=0 são
x_0 = 0,\quad x_1 = \frac{\lambda}{2}\approx0,01257\text{ m},\quad x_2 = \lambda\approx0,02513\text{ m}.

Passo 7

Os ventres (antinós) ocorrem quando |\operatorname{sen}(kx)|=1, isto é kx=(2n+1)\frac\pi2. Logo
x = \frac{(2n+1)\pi}{2k} = (2n+1)\,\frac{\lambda}{4}.
Três ventres consecutivos são
x = \frac{\lambda}{4}\approx0,00628\text{ m},\; \frac{3\lambda}{4}\approx0,01885\text{ m},\; \frac{5\lambda}{4}\approx0,03142\text{ m}.

Passo 8

A corda fica instantaneamente em Y(x,t)=0 (toda esticada na posição de equilíbrio) quando \cos(\omega t)=0, ou seja
\omega t = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{(2n+1)\pi}{2\omega}.
Dois instantes consecutivos são, por exemplo, com n=0 e n=1:
t_1 = \frac{\pi}{2\cdot4500}\approx3,49\times10^{-4}\text{ s},\quad t_2 = \frac{3\pi}{2\cdot4500}\approx1,05\times10^{-3}\text{ s}.

Resposta

(a) A=0,025\text{ m}
(b) f\approx716{,}2\text{ Hz}
(c) \lambda\approx0,02513\text{ m}
(d) v=18\text{ m/s}
(e) em x=0 há um nó
(f) nós em x=0,\;0{,}01257\text{ m},\;0{,}02513\text{ m}
(g) ventres em x\approx0{,}00628\text{ m},\;0{,}01885\text{ m},\;0{,}03142\text{ m}
(h) instantes em que toda a corda passa pela origem (posição de equilíbrio):
\displaystyle t=\frac{(2n+1)\pi}{2\cdot4500}, por exemplo 3{,}49\times10^{-4} s e 1{,}05\times10^{-3} s.

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