Um circuito LC oscila com a frequência de 10 kHz . (a) Se a capacitância é conhecida e vale 340 \mu \mathrm{~F}, qual é a indutância ? (b) Sabendo-se que a corrente máxima vale 7,20 \mathrm{~mA}, qual é a energia total no circuito ? (c) Obtenha a carga máxima do capacitor.

Passo 1

O enunciado dá um circuito LC oscilando em frequência f=10{,}0\:\text{kHz} e capacitância conhecida C=340\:\mu\mathrm{F}.
(a) Pede a indutância L que faz \omega=2\pi f satisfazer \omega=1/\sqrt{LC}.
(b) Com a corrente máxima I_{\max}=7{,}20\:\mathrm{mA}, pede a energia total E armazenada.
(c) Pede a carga máxima Q_{\max} no capacitor.
Para isso usaremos as fórmulas de ressonância de um circuito LC e as expressões
E=\tfrac12\,L\,I_{\max}^2
e
I_{\max}=\omega\,Q_{\max}\,.

Passo 2

Calculamos primeiro a pulsação \omega e depois extraímos L.
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10\,000 = 20\,000\pi\:\mathrm{rad/s}
Da relação \omega=1/\sqrt{LC} temos
L = \frac{1}{\omega^2\,C}.
Substituindo C=340\times10^{-6}\:\mathrm{F} e \omega=20\,000\pi,
L = \frac{1}{(20\,000\pi)^2 \times 340\times10^{-6}} \approx 7{,}45\times10^{-7}\:\mathrm{H}.

Passo 3

Usamos a energia máxima no circuito LC:
E = \tfrac12\,L\,I_{\max}^2.
Com L=7{,}45\times10^{-7}\:\mathrm{H} e I_{\max}=7{,}20\times10^{-3}\:\mathrm{A},
E = \tfrac12 \times 7{,}45\times10^{-7} \times (7{,}20\times10^{-3})^2 \approx 1{,}93\times10^{-11}\:\mathrm{J}.

Passo 4

Para a carga máxima usamos I_{\max}=\omega\,Q_{\max}, logo
Q_{\max} = \frac{I_{\max}}{\omega} = \frac{7{,}20\times10^{-3}}{20\,000\pi} \approx 1{,}15\times10^{-7}\:\mathrm{C}.

Resposta

(a) L\approx7{,}45\times10^{-7}\:\mathrm{H}.
(b) E\approx1{,}93\times10^{-11}\:\mathrm{J}.
(c) Q_{\max}\approx1{,}15\times10^{-7}\:\mathrm{C}.

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