Verifique que \left\langle\left(u_{1}, u_{2}\right),\left(v_{1}, v_{2}\right)\right\rangle=u_{1} v_{1}-u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}+3 u_{2} v_{2} define um produto interno no \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a aplicação
\langle (u_1,u_2),(v_1,v_2)\rangle = u_1v_1 \;-\; u_1v_2 \;-\; u_2v_1 \;+\; 3\,u_2v_2
em \mathbb{R}^2 satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. bilinearidade,
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade: mostramos que \langle\cdot,\cdot\rangle é linear em cada argumento. Para quaisquer u,u',v,v'\in\mathbb{R}^2 e escalares \lambda,\mu\in\mathbb{R} vale
\langle \lambda u + \mu u',\,v\rangle = \lambda\,\langle u,v\rangle + \mu\,\langle u',v\rangle.
\langle u,\,\lambda v + \mu v'\rangle = \lambda\,\langle u,v\rangle + \mu\,\langle u,v'\rangle.

Passo 3

Simetria: para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) temos
\langle u,v\rangle = u_1v_1 - u_1v_2 - u_2v_1 + 3\,u_2v_2,
\langle v,u\rangle = v_1u_1 - v_1u_2 - v_2u_1 + 3\,v_2u_2.
Como o produto em \mathbb{R} comuta, essas expressões são idênticas, logo
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.

Passo 4

Positividade definida: calculemos
\langle u,u\rangle = u_1^2 - 2\,u_1u_2 + 3\,u_2^2.
Essa forma quadrática tem matriz associada
M = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Seus menores principais são 1>0 e
\det M = 3 - 1 = 2>0. Pelo critério de Sylvester, M é definida positiva, o que implica
\langle u,u\rangle>0 sempre que u\neq(0,0).]

Resposta

Portanto, \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida e, assim, é um produto interno em \mathbb{R}^2.

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