Verifique que
define um produto interno no
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- bilinearidade,
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade: mostramos que
é linear em cada argumento. Para quaisquer
e escalares
vale
Passo 3
Simetria: para
e
temos
Como o produto em
comuta, essas expressões são idênticas, logo
.
Passo 4
Positividade definida: calculemos
Essa forma quadrática tem matriz associada
Seus menores principais são
e
. Pelo critério de Sylvester,
é definida positiva, o que implica
sempre que
.]
Resposta
Portanto,
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida e, assim, é um produto interno em
.