[2,0] Seja dado o sistema linear \mathbf{A X}=\mathbf{B}, no qual
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{X}=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{r} 12 \\\\ 3 \\\\ 0 \end{array}\right] .
Suponha que \mathbf{A} tenha sido decomposta na forma \mathbf{A}=\mathbf{Q R}, em que
\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{rrr} 1 / 3 & -2 / 3 & 2 / 3 \\\\ 2 / 3 & -1 / 3 & -2 / 3 \\\\ 2 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \mathbf{R}=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] .
(a) [0,8] Sabendo que \mathbf{Q}^{T}=\mathbf{Q}^{-1} (ou seja, que a matriz \mathbf{Q} é ortogonal), mostre que o sistema \mathbf{A X}=\mathbf{B} é equivalente a \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T} \mathbf{B}.
(b) [0,6] Calcule \mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T} \mathbf{B}.
(c) [0,6] Obtenha \mathbf{X} resolvendo o sistema linear \mathbf{R X}=\mathbf{C}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear \mathbf{A X}=\mathbf{B} com
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] 2 & 2 & -2\end{bmatrix},\qquad \mathbf{X}=\begin{bmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{bmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}12\\[4pt] 3\\[4pt] 0\end{bmatrix},
e informa uma decomposição \mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R} com
\mathbf{Q}=\begin{bmatrix}1/3 & -2/3 & 2/3 \\[4pt] 2/3 & -1/3 & -2/3 \\[4pt] 2/3 & 2/3 & 1/3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{R}=\begin{bmatrix}3 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{bmatrix}.
As perguntas são:
(a) mostrar que o sistema é equivalente a \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B} sabendo que \mathbf{Q}^{T}=\mathbf{Q}^{-1} (ou seja, \mathbf{Q} é ortogonal);
(b) calcular \mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B};
(c) resolver \mathbf{R X}=\mathbf{C} para obter \mathbf{X}.]

Passo 2

Derivação algébrica que transforma \mathbf{A X}=\mathbf{B} em \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}.
Começamos de
\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B},
e substituímos \mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}:
\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{B}.
Agora premultiplicamos ambos os lados por \mathbf{Q}^{T}:
\mathbf{Q}^{T}(\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{X})=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}.
Como \mathbf{Q} é ortogonal, vale \mathbf{Q}^{T}\mathbf{Q}=\mathbf{I} (a matriz identidade). Logo
(\mathbf{Q}^{T}\mathbf{Q})\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{I}\,\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B},
ou seja
\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}.
Comentário prático: isso é útil porque \mathbf{R} é triangular superior, então resolver o sistema reduzido é fácil por substituição regressiva.

Passo 3

Cálculo explícito de \mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}.
Primeiro escrevemos \mathbf{Q}^{T} (transposta de \mathbf{Q}): trocar linhas por colunas dá
\mathbf{Q}^{T}=\begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \\[4pt] -2/3 & -1/3 & 2/3 \\[4pt] 2/3 & -2/3 & 1/3 \end{bmatrix}.
Multiplicamos \mathbf{Q}^{T} por \mathbf{B}=\begin{bmatrix}12\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix}. Fazer produto matricial componente a componente (linha de \mathbf{Q}^{T} por vetor \mathbf{B}):
Primeira componente:
c_1=\tfrac{1}{3}\cdot 12+\tfrac{2}{3}\cdot 3+\tfrac{2}{3}\cdot 0 =4+2+0=6.
Segunda componente:
c_2=-\tfrac{2}{3}\cdot 12-\tfrac{1}{3}\cdot 3+\tfrac{2}{3}\cdot 0 =-8-1+0=-9.
Terceira componente:
c_3=\tfrac{2}{3}\cdot 12-\tfrac{2}{3}\cdot 3+\tfrac{1}{3}\cdot 0 =8-2+0=6.
Portanto
\mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-9\\[4pt]6\end{bmatrix}.]

Passo 4

Resolver [\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{C}) por substituição regressiva.
Escrevemos o sistema correspondente, usando \mathbf{R}=\begin{bmatrix}3 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{bmatrix} e \mathbf{C}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-9\\[4pt]6\end{bmatrix}. As equações são:
\begin{cases} 3x+2y-2z=6,\\[4pt] \;y-2z=-9,\\[4pt] \;2z=6. \end{cases}
Começando pela última (mais simples): (;2z=6\Rightarrow z=3].
Substituindo na segunda: \;y-2\cdot 3=-9\Rightarrow y-6=-9\Rightarrow y=-3.
Substituindo y e z na primeira:
3x+2(-3)-2(3)=6 \quad\Rightarrow\quad 3x-6-6=6 \quad\Rightarrow\quad 3x-12=6,
logo 3x=18 e x=6.
Esses valores resolvem o sistema triangular, portanto
\mathbf{X}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]3\end{bmatrix}.]

Resposta

(a) \mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}
(b) \mathbf{C}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-9\\[4pt]6\end{bmatrix}
(c) \mathbf{X}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]3\end{bmatrix}]

Exercícios relacionados