(a) [0,8] Sabendo que \mathbf{Q}^{T}=\mathbf{Q}^{-1} (ou seja, que a matriz \mathbf{Q} é ortogonal), mostre que o sistema \mathbf{A X}=\mathbf{B} é equivalente a \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T} \mathbf{B}.
(b) [0,6] Calcule \mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T} \mathbf{B}.
(c) [0,6] Obtenha \mathbf{X} resolvendo o sistema linear \mathbf{R X}=\mathbf{C}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear \mathbf{A X}=\mathbf{B} com
As perguntas são:
(a) mostrar que o sistema é equivalente a \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B} sabendo que \mathbf{Q}^{T}=\mathbf{Q}^{-1} (ou seja, \mathbf{Q} é ortogonal);
(b) calcular \mathbf{C}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B};
(c) resolver \mathbf{R X}=\mathbf{C} para obter \mathbf{X}.]
Passo 2
Derivação algébrica que transforma \mathbf{A X}=\mathbf{B} em \mathbf{R X}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{B}.
Começamos de
\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B},
e substituímos \mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}:
\mathbf{Q}\mathbf{R}\mathbf{X}=\mathbf{B}.
Agora premultiplicamos ambos os lados por \mathbf{Q}^{T}:
Multiplicamos \mathbf{Q}^{T} por \mathbf{B}=\begin{bmatrix}12\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix}. Fazer produto matricial componente a componente (linha de \mathbf{Q}^{T} por vetor \mathbf{B}):