[2,0] 5) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z) \mapsto(x-2 y, z, x+y). Mostre que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x - 2y,\;z,\;x + y).
Precisamos mostrar que T é um isomorfismo (isto é, que é invertível) e determinar explicitamente sua inversa T^{-1}. Para isso, vamos usar a matriz de T na base canônica, verificar que seu determinante é não nulo e depois resolver o sistema T(x,y,z)=(u,v,w) para encontrar T^{-1}(u,v,w).
Passo 2
Primeiro, observamos que T é linear porque cada componente é combinação linear de x,y,z. A matriz associada a T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} é