[2,0] 5) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z) \mapsto(x-2 y, z, x+y). Mostre que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x - 2y,\;z,\;x + y).
Precisamos mostrar que T é um isomorfismo (isto é, que é invertível) e determinar explicitamente sua inversa T^{-1}. Para isso, vamos usar a matriz de T na base canônica, verificar que seu determinante é não nulo e depois resolver o sistema T(x,y,z)=(u,v,w) para encontrar T^{-1}(u,v,w).

Passo 2

Primeiro, observamos que T é linear porque cada componente é combinação linear de x,y,z. A matriz associada a T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} é
A \;=\;\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois
\;T(1,0,0)=(1,0,1),
\;T(0,1,0)=(-2,0,1),
\;T(0,0,1)=(0,1,0).

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot(0\cdot0 - 1\cdot1) -(-2)\cdot(0\cdot0 - 1\cdot1) +0\cdot\bigl(\dots\bigr) =-1 -2 = -3.
Como \det(A)=-3\neq0, a matriz é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar T^{-1}, seja
(u,v,w)=T(x,y,z),
isto é, o sistema
\begin{cases} u = x - 2y,\\\ v = z,\\\ w = x + y. \end{cases}
Já vemos que
z = v.
Subtraindo a primeira equação da terceira:
w - u = (x+y) - (x-2y) = 3y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{w - u}{3}.
Em seguida,
x = w - y = w - \frac{w-u}{3} = \frac{u + 2\,w}{3}.

Passo 5

Portanto, para todo (u,v,w)\in\mathbb{R}^3,
T^{-1}(u,v,w) =\biggl(\frac{u+2\,w}{3},\;\frac{w - u}{3},\;v\biggr).

Resposta

T é um isomorfismo (pois \det A=-3\neq0) e sua inversa é
T^{-1}(x,y,z) =\biggl(\frac{x + 2z}{3},\;\frac{z - x}{3},\;y\biggr).

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