1. Eliminar os termos do 1 .{ }^{\circ} grau em 2 x y-x-y+3=0 por meio de uma translação de eixos.
\text { Resp.: } 4 x^{\prime} y^{\prime}+5=0

Passo 1

O enunciado pede para eliminar os termos de primeiro grau na curva
2xy - x - y + 3 = 0
por meio de uma translação de eixos. Isso é um caso clássico de remoção dos termos lineares numa equação de segundo grau em duas variáveis. Para resolver, vamos fazer a mudança de variáveis
x = x' + a, \quad y = y' + b
e escolher a e b de modo que os coeficientes de x' e y' se anulem.

Passo 2

Substituímos x = x' + a e y = y' + b na equação original:
2(x'+a)(y'+b) \;-\;(x'+a)\;-\;(y'+b)\;+\;3 \;=\;0.
Agora expandimos:
2\bigl(x'y' + b\,x' + a\,y' + ab\bigr) \;-\;x' - a \;-\;y' - b \;+\;3 = 0.

Passo 3

Agrupando termos semelhantes, obtemos
2\,x'y' \;+\;(2b - 1)\,x' \;+\;(2a - 1)\,y' \;+\;\bigl(2ab - a - b + 3\bigr) \;=\;0.
Para eliminar os termos lineares em x' e em y', impomos
2b - 1 = 0, \quad 2a - 1 = 0.

Passo 4

Das igualdades vem
b = \tfrac12, \quad a = \tfrac12.
Substituindo a = b = \tfrac12 no termo constante:
2ab - a - b + 3 = 2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 \;-\;\tfrac12 \;-\;\tfrac12 \;+\;3 = \tfrac12 - 1 + 3 = \tfrac52.
Logo a equação em x',y' fica
2\,x'y' + \tfrac52 = 0.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para limpar a fração, obtemos a forma final sem termos de primeiro grau:
4\,x'y' + 5 = 0.

Resposta

A equação transladada, sem termos lineares, é
4\,x'y' + 5 = 0.

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