1. Calcular o valor de k para que a parábola \mathrm{x}=\mathrm{ky}^{2} tenha foco no ponto (3,0).
\text { Resp.: } k=\frac{1}{12}

Passo 1

O enunciado diz que temos a parábola
x = k\,y^2
e queremos escolher k de modo que o foco dela seja o ponto (3,0). Vamos usar geometria analítica de parábolas: forma canônica e posição do foco.

Passo 2

A forma canônica de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x e vértice na origem é
y^2 = 4\,p\,x,
onde p é a distância do vértice ao foco, e o foco fica em (p,0).

Passo 3

Partindo de x = k\,y^2, invertendo para isolar y^2, obtemos
y^2 = \frac{1}{k}\,x.
Comparando com y^2 = 4\,p\,x, vemos que
4\,p = \frac{1}{k} \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{1}{4\,k}.

Passo 4

Como o foco está em (p,0) e queremos que seja (3,0), impomos
p = 3.

Passo 5

Da relação p = 1/(4k) e p=3 segue
\frac{1}{4\,k} = 3 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{12}.

Resposta

k = \frac{1}{12}

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