Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W,[T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(a) V=W=\mathbb{R}^{2}, \alpha=\{(1,1),(1,2)\}, \beta=\{(0,1),(-1,1)\} e [T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -3\end{array}\right], v=(1,0).
Passo 1
Resumindo: temos V=W=\mathbb{R}^{2} com bases \alpha=\{(1,1),(1,2)\}, \beta=\{(0,1),(-1,1)\}
e matriz de T em coordenadas \alpha\to\beta:
Vamos calcular T(v) para v=(1,0) e depois obter a fórmula geral de T.
Passo 2
Escrevemos v=(1,0)\) como combinação linear das vetores de \(\alpha\):
\[c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2)=(1,0) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c_{1}+c_{2}=1,\\\ c_{1}+2c_{2}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda, c_{2}= -1\] e \(c_{1}=2. Logo
Convertendo de coordenadas em \beta para o vetor padrão:
T(v) = 1\cdot(0,1) + 5\cdot(-1,1) = (-5,6).
Passo 5
Para a fórmula geral, tomamos u=(x,y)\) e achamos suas coordenadas em \(\alpha\):
\[c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2)=(x,y) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c_{1}+c_{2}=x,\\\ c_{1}+2c_{2}=y, \end{cases}