Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W,[T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(a) V=W=\mathbb{R}^{2}, \alpha=\{(1,1),(1,2)\}, \beta=\{(0,1),(-1,1)\} e [T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 1 & -3\end{array}\right], v=(1,0).

Passo 1

Resumindo: temos V=W=\mathbb{R}^{2} com bases
\alpha=\{(1,1),(1,2)\}, \beta=\{(0,1),(-1,1)\}
e matriz de T em coordenadas \alpha\to\beta:
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix}.
Vamos calcular T(v) para v=(1,0) e depois obter a fórmula geral de T.

Passo 2

Escrevemos v=(1,0)\) como combinação linear das vetores de \(\alpha\): \[c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2)=(1,0) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c_{1}+c_{2}=1,\\\ c_{1}+2c_{2}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda, c_{2}= -1\] e \(c_{1}=2. Logo
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}2 \\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos a matriz de T às coordenadas de v:
[T(v)]_{\beta} = [T]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 4

Convertendo de coordenadas em \beta para o vetor padrão:
T(v) = 1\cdot(0,1) + 5\cdot(-1,1) = (-5,6).

Passo 5

Para a fórmula geral, tomamos u=(x,y)\) e achamos suas coordenadas em \(\alpha\): \[c_{1}(1,1)+c_{2}(1,2)=(x,y) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} c_{1}+c_{2}=x,\\\ c_{1}+2c_{2}=y, \end{cases}
daí c_{2}=y-x\] e \(c_{1}=2x-y. Então
[T(u)]_{\beta} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2x - y \\\ y - x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\\\ 5x - 4y\end{pmatrix}.
Convertendo ao padrão:
T(x,y) = x\,(0,1) + (5x-4y)\,(-1,1) = \bigl(-5x+4y,\;6x-4y\bigr).

Resposta

T(1,0)=(-5,6)
A fórmula geral é
\displaystyle T(x,y)=(-5x+4y,\;6x-4y).

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