[2,0]1) Considere os subespaços de
Ache uma base de
e
, dê a dimensão de cada um e responda se alguma delas é soma direta.
Passo 1
O enunciado define os subespaços de
Queremos encontrar para cada um de
uma base, a dimensão e dizer se alguma soma é direta. Vamos usar:
- Para bases de planos, escolher dois vetores livres.
- Para interseções, resolver os sistemas lineares.
- Para somas, a fórmula
e verificar se
(caso de soma direta).
Passo 2
Encontrar base e dimensão de
.
é o plano
. Tomamos parâmetros
e
:
Dois vetores geradores são
Eles são linearmente independentes, logo
Passo 3
Encontrar base e dimensão de
.
Em temos
; escolhemos
e
livres:
Em
Eles são L.I., logo
Passo 4
Calcular
.
Condições: e
. Substituindo
em
dá
.
Logo
Condições:
Logo
Passo 5
Determinar
.
Pela fórmula:
Pela fórmula:
Como está em
, temos
.
Para uma base de , podemos unir geradores de
e um de
que não fique em
, por exemplo
Para uma base de
Como
, a soma
não é direta.
Passo 6
Calcular
.
Em temos
,
; em
. Então
implica
. Só sobra o vetor nulo.
Em
Passo 7
Determinar
.
Como , temos
Como
e de fato
. Uma base é, por exemplo,
Como a interseção é trivial,
é soma direta.
Resposta
- Base de
: , . - Base de
: , . - Base de
: , . - Base de
: , . A soma não é direta. - Base de
: , . - Base de
: , . A soma é direta.