[2,0]1) Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3}
\begin{aligned} & V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=0\right\} \\\ & W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=y\right\} \\\ & U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=z=0\right\} \end{aligned}
Ache uma base de V, W, V+W, U+V, U \cap V e V \cap W, dê a dimensão de cada um e responda se alguma delas é soma direta.

Passo 1

O enunciado define os subespaços de \mathbb{R}^3
V=\{(x,y,z):x+y+z=0\},\quad W=\{(x,y,z):x=y\},\quad U=\{(x,y,z):x=0,\;z=0\}.
Queremos encontrar para cada um de
V,\;W,\;V+W,\;U+V,\;U\cap V,\;V\cap W
uma base, a dimensão e dizer se alguma soma é direta. Vamos usar:
  1. Para bases de planos, escolher dois vetores livres.
  2. Para interseções, resolver os sistemas lineares.
  3. Para somas, a fórmula
\dim(A+B)=\dim A+\dim B-\dim(A\cap B)
e verificar se A\cap B=\{0\} (caso de soma direta).

Passo 2

Encontrar base e dimensão de V.
V é o plano x+y+z=0. Tomamos parâmetros x e y:
z=-x-y.
Dois vetores geradores são
v_1=(1,0,-1),\quad v_2=(0,1,-1).
Eles são linearmente independentes, logo
\text{base de }V=\{(1,0,-1),(0,1,-1)\},\quad \dim(V)=2.

Passo 3

Encontrar base e dimensão de W.
Em W temos x=y; escolhemos x e z livres:
w_1=(1,1,0),\quad w_2=(0,0,1).
Eles são L.I., logo
\text{base de }W=\{(1,1,0),(0,0,1)\},\quad \dim(W)=2.

Passo 4

Calcular V\cap W.
Condições: x=y e x+y+z=0. Substituindo y=x em x+x+z=0 z=-2x.
Logo
V\cap W=\{(x,x,-2x):x\in\mathbb{R}\}=\Span\{(1,1,-2)\},
\dim(V\cap W)=1.

Passo 5

Determinar V+W.
Pela fórmula:
\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)=2+2-1=3.
Como está em \mathbb{R}^3, temos V+W=\mathbb{R}^3.
Para uma base de V+W, podemos unir geradores de V e um de W que não fique em V, por exemplo
\{(1,0,-1),(0,1,-1),(1,1,0)\}.
Como \dim(V\cap W)=1\neq0, a soma V+W não é direta.

Passo 6

Calcular U\cap V.
Em U temos x=0, z=0; em V x+y+z=0. Então 0+y+0=0 implica y=0. Só sobra o vetor nulo.
U\cap V=\{0\},\quad \dim(U\cap V)=0,\quad\text{base vazia}.

Passo 7

Determinar U+V.
Como U\cap V=\{0\}, temos
\dim(U+V)=\dim U+\dim V=1+2=3
e de fato U+V=\mathbb{R}^3. Uma base é, por exemplo,
\{(1,0,-1),(0,1,-1),(0,1,0)\}.
Como a interseção é trivial, U+V é soma direta.

Resposta

  • Base de V: \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim(V)=2.
  • Base de W: \{(1,1,0),(0,0,1)\}, \dim(W)=2.
  • Base de V\cap W: \{(1,1,-2)\}, \dim(V\cap W)=1.
  • Base de V+W: \{(1,0,-1),(0,1,-1),(1,1,0)\}, \dim(V+W)=3. A soma V+W não é direta.
  • Base de U\cap V: \emptyset, \dim(U\cap V)=0.
  • Base de U+V: \{(1,0,-1),(0,1,-1),(0,1,0)\}, \dim(U+V)=3. A soma U+V é direta.

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