Dadas as transformações lineares T e S, calcule S \circ T.
(a) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(x+y, x-2 y) e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por S(x, y)=(-x+2 y, x+y).

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x+y,\;x-2y)
e
S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad S(x,y)=(-x+2y,\;x+y)
e pede a composição S\circ T. Vamos usar a definição de composição:
(S\circ T)(x,y)=S\bigl(T(x,y)\bigr).

Passo 2

Primeiro, aplicamos T ao vetor (x,y):
T(x,y)=\bigl(x+y,\;x-2y\bigr).

Passo 3

Seja
T(x,y)=(u,v),
isto é,
u=x+y, \quad v=x-2y.
Então
S(u,v)=(-u+2v,\;u+v).

Passo 4

Substituindo u=x+y e v=x-2y em S(u,v) obtemos
-u+2v=-(x+y)+2(x-2y)=x-5y,
u+v=(x+y)+(x-2y)=2x-y.
Logo
(S\circ T)(x,y)=(x-5y,\;2x-y).

Resposta

(S\circ T)(x,y)=(x-5y,\;2x-y)

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