Questão 2 Seja
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & -7 & -9 \\\\ 0 & 2 & 2 \end{array}\right]
(a) (1.0) Encontre todos os autovalores de A.
(b) (2.0) Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.
(c) (1.0) A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^{-1}, com D diagonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & -7 & -9 \\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e pede: (a) todos os autovalores de A; (b) bases de autovetores associados; (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, construir P e D tais que A=PDP^{-1}. Vamos usar o polinômio característico, resolver sistemas homogêneos e depois checar independência dos autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\\\ 1 & -7-\lambda & -9 \\\\ 0 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} -7-\lambda & -9 \\\\ 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Dentro do determinante menor:
(-7-\lambda)(2-\lambda)-(-9)\cdot2 =\lambda^2+5\lambda+4.
Logo
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\,(\lambda^2+5\lambda+4).

Passo 3

Resolvendo
(2-\lambda)(\lambda^2+5\lambda+4)=0
obtemos os autovalores
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=-1,\quad \lambda_3=-4.

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & -9 & -9 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Dessas equações vem x_2=0 e x_1=9x_3. Tomando x_3=1 obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}9\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0:
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & -6 & -9 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha x_1=0. Das demais surge 2x_2+3x_3=0. Tomando x_3=2, x_2=-3, temos
v_2=\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda=-4 resolvemos (A+4I)x=0:
\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\\\ 1 & -3 & -9 \\\\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha x_1=0. Das demais surge x_2+3x_3=0. Tomando x_3=1, x_2=-3, obtemos
v_3=\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Os vetores v_1,v_2,v_3 são três autovetores associados a autovalores distintos e, portanto, são linearmente independentes. Logo A é diagonalizável. Tomamos
P=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix},
de modo que
A=PDP^{-1}.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=2, \lambda_2=-1, \lambda_3=-4.
Bases de autovetores:
v_1=(9,0,1)^T,\quad v_2=(0,-3,2)^T,\quad v_3=(0,-3,1)^T.
Como há três autovetores independentes, A é diagonalizável e
P=\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -3 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad A=PDP^{-1}.

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