Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear dada por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{4}, 0\right) .
(a) (i.0) Determine uma base para o núcleo de T.
(b) (1.0) Determine uma base para a imagem de T.
(c) (0.5) A transformação T é injetora? Justifique.
(d) (0.5) A transformaçāo T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\quad T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2-x_3,\;x_1-x_2+x_3,\;x_4,\;0)
e pede:
(a) uma base para o núcleo de T,
(b) uma base para a imagem de T,
(c) verificar se T é injetora,
(d) verificar se T é sobrejetora.
Vamos resolver sistematicamente o sistema T(x)=0 para achar o núcleo, depois caracterizar a imagem e enfim usar o Teorema Núcleo–Imagem para inj e sobrej.

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0).
Isto equivale ao sistema
\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0,\\\ x_1 - x_2 + x_3 = 0,\\\ x_4 = 0. \end{cases}
Somando as duas primeiras equações vem 2x_1=0, logo x_1=0. Substituindo em qualquer delas dá x_2 - x_3=0, ou seja x_2=x_3. E ainda x_4=0. Portanto os vetores do núcleo são
(0,x_2,x_2,0)=x_2\,(0,1,1,0).
Uma base é \{(0,1,1,0)\}.

Passo 3

Para a imagem, note que
T(x_1,x_2,x_3,x_4) =\bigl(x_1+x_2-x_3,\;x_1-x_2+x_3,\;x_4,\;0\bigr).
Chamando (u,v,w,0)=T(x), vemos que w=x_4 é livre e não há relação entre u e v: dado qualquer (u,v) achamos x_1,x_2,x_3 que as produzem. Logo
\Im T=\{(u,v,w,0)\mid u,v,w\in\mathbb{R}\} =\Span\bigl\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0)\bigr\}.
Assim uma base da imagem é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0)\}.

Passo 4

Uma transformação linear é injetora se, e só se, seu núcleo for \{0\}. Aqui \dim\Ker T=1>0, logo \Ker T\neq\{0\} e T não é injetora.

Passo 5

Uma transformação é sobrejetora se \Im T=\mathbb{R}^4. Como \Im T tem dimensão 3<4 (e todos os vetores imagem têm 4ª coordenada zero), T não é sobrejetora.

Resposta

(a) \{(0,1,1,0)\}
(b) \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0)\}
(c) Não, pois \Ker T\neq\{0\}.
(d) Não, pois \Im T\neq\mathbb{R}^4 (sempre 4ª coordenada zero).

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