(a) (i.0) Determine uma base para o núcleo de T.
(b) (1.0) Determine uma base para a imagem de T.
(c) (0.5) A transformação T é injetora? Justifique.
(d) (0.5) A transformaçāo T é sobrejetora? Justifique.
e pede:
(a) uma base para o núcleo de T,
(b) uma base para a imagem de T,
(c) verificar se T é injetora,
(d) verificar se T é sobrejetora.
Vamos resolver sistematicamente o sistema T(x)=0 para achar o núcleo, depois caracterizar a imagem e enfim usar o Teorema Núcleo–Imagem para inj e sobrej.
Somando as duas primeiras equações vem 2x_1=0, logo x_1=0. Substituindo em qualquer delas dá x_2 - x_3=0, ou seja x_2=x_3. E ainda x_4=0. Portanto os vetores do núcleo são
Assim uma base da imagem é \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0)\}.
Passo 4
Uma transformação linear é injetora se, e só se, seu núcleo for \{0\}. Aqui \dim\Ker T=1>0, logo \Ker T\neq\{0\} e T não é injetora.
Passo 5
Uma transformação é sobrejetora se \Im T=\mathbb{R}^4. Como \Im T tem dimensão 3<4 (e todos os vetores imagem têm 4ª coordenada zero), T não é sobrejetora.
Resposta
(a) \{(0,1,1,0)\}
(b) \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0)\}
(c) Não, pois \Ker T\neq\{0\}.
(d) Não, pois \Im T\neq\mathbb{R}^4 (sempre 4ª coordenada zero).