Considere os vetores u=(1,5), v=(3,4) e w=(a, 1) do \mathbb{R}^{2}. Encontre:
(a) \langle u, v\rangle com respeito ao produto interno usual do \mathbb{R}^{2}.
(b) \langle u, v\rangle com respeito ao produto interno definido no exercício 1 .
(c) \|v\| usando o produto interno usual do \mathbb{R}^{2}.
(d) \|v\| usando o produto interno definido no exercício 1.
(e) a tal que u \perp w referente ao produto interno usual do \mathbb{R}^{2}.
(f) a tal que u \perp w referente ao produto interno definido no exercício 1 .

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (1,5),\quad v = (3,4),\quad w=(a,1)
e pede seis quantidades:
  1. \langle u,v\rangle usando o produto interno usual em \mathbb{R}^2.
  2. \langle u,v\rangle usando um “produto interno definido no exercício 1” (não fornecido).
  3. \|v\| com o produto interno usual.
  4. \|v\| com o produto interno do exercício 1.
  5. O valor de a tal que u\perp w no produto interno usual.
  6. O valor de a tal que u\perp w no produto interno do exercício 1.

Passo 2

Para o produto interno usual em \mathbb{R}^2 temos
\langle u,v\rangle = 1\cdot 3 + 5\cdot 4 = 3 + 20 = 23.

Passo 3

A norma de v no produto interno usual é
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.

Passo 4

Para u ser ortogonal a w no produto interno usual exige
\langle u,w\rangle = 1\cdot a + 5\cdot 1 = a + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -5.

Passo 5

As partes (b), (d) e (f) dependem de um produto interno “definido no exercício 1” que não foi informado. Sem essa definição não há como calcular
\langle u,v\rangle, \|v\| nem determinar a para ortogonalidade usando esse produto interno.

Resposta

(a) 23
(b) Não é possível determinar: falta a definição do produto interno do Exercício 1.
(c) 5
(d) Não é possível determinar: falta a definição do produto interno do Exercício 1.
(e) -5
(f) Não é possível determinar: falta a definição do produto interno do Exercício 1.

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