[2.0pt ]Reparametrize a cicloide
& x=a t-a sen t & y=a-a cos t
em relação ao comprimento de arco do ponto (0,0) na direção crescente de t.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a cicloide
x(t)&=a,t - asin t, y(t)&=a - acos t,
usando como novo parâmetro o comprimento de arco s contado desde o ponto (0,0) no sentido de t crescente. Para isso precisamos calcular s(t), inverter esta relação e então substituir t=t(s) nas fórmulas de x e y.

Passo 2

Calculemos a velocidade da curva:
dxdt=a - acos t, dydt=asin t
Assim a velocidade escalar é
dsdt =raizl(a - acos tr)^2 + l(asin tr)^2 = araiz2 - 2cos t =2al|sintfrac t2r|
No intervalo tin[0,2pi] tem-se sin(t/2)>=0, logo
dsdt=2asin!l(tfrac t2r)

Passo 3

Integramos para achar s em função de t:
s(t) =integral0^t2asin!l(tfrac u2r),du =-4al[cos!l(tfrac u2r)r]0^t =4al(1-costfrac t2r)

Passo 4

Invertendo a relação s=4al(1-costfrac t2r) obtemos
cos!l(tfrac t2r) =1- s4a, t=2arccos!l(1- s4ar)

Passo 5

Finalmente, substituímos t=t(s) em x(t),y(t). Uma forma direta de escrever é
x(s) =al(t(s)-sin t(s)r), y(s) =al(1-cos t(s)r),
com
t(s)=2arccos!l(1- s4ar)

Resposta

boxed x(s) =al(2arccosl(1-tfrac s4ar) -sinl(2arccos(1-tfrac s4a)r)r), y(s) =al(1-cosl(2arccos(1-tfrac s4a)r)r),
para 0<= s<= 8a.

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