No desenvolvimento de: (1+3 cdot x)^m, a razão entre os coeficientes dos termos de terceiro e primeiro graus em x é 6 cdot(m-1). Qual é o valor de m ?

Passo 1

A questão pede para expandir (1+3x)^m e usar o Teorema Binomial. Vamos notar que, ao aplicar esse teorema, o coeficiente geral do termo x^k é dado por binommk,3^k. Precisamos do coeficiente de grau 1 e de grau 3 e da razão entre eles, que deve ser 6,(m-1).

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o coeficiente do termo x^1 é
binomm1,3^1 = mcdot3
e o coeficiente do termo x^3 é
binomm3,3^3 = binomm3cdot27 .

Passo 3

A razão entre esses coeficientes, segundo o enunciado, satisfaz
binomm3cdot27mcdot3 = 6,(m-1)
Vamos usar isso para montar a equação.

Passo 4

Sabendo que
binomm3 = m(m-1)(m-2)6,
substituímos na razão e simplificamos:
m(m-1)(m-2)6cdot273m = 6(m-1)
276cdot(m-1)(m-2)3 = 6(m-1)
32,(m-1)(m-2) = 6(m-1)
Como mneq1 (precisamos de termo de grau 3), dividimos por m-1:
32(m-2) = 6 implies m-2 = 4 implies m = 6

Passo 5

Verificamos que m=6 é compatível (maior que 3) e reproduz a razão desejada. Portanto, a solução do exercício é m=6.

Resposta

6

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