Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(4) 6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
6x y,dx + l(4y + 9x^2r),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, devemos encontrar um fator integrante e, então, obter a solução geral. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Denotamos
M(x,y) = 6x y, N(x,y) = 4y + 9x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6x, partial Npartial x = 18x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu. Testamos a condição
partial N/partial x - partial M/partial yM = 18x - 6x6x y = 12x6x y = 2y,
que depende apenas de y. Logo, existe mu(y) com
mu(y) = expl(integral tfrac2y,dyr) = expl(2ln|y|r) = y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^2, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^*(x,y) = 6x y^3, N^*(x,y) = y^2(4y + 9x^2) = 4y^3 + 9x^2 y^2
Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y = 18x y^2, partial N^*partial x = 18x y^2
Agora é exata. Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psi/partial x = M^*. Integramos em x:
psi(x,y) = integral 6x y^3,dx = 3x^2 y^3 + h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial psipartial y = 9x^2 y^2 + h'(y) stackrel!= N^*(x,y) = 4y^3 + 9x^2 y^2
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h'(y) = 4y^3 Longrightarrow h(y) = y^4

Passo 5

A função potencial é
psi(x,y) = 3x^2 y^3 + y^4,
e a solução geral implícita fica
psi(x,y) = C

Resposta

3x^2 y^3 + y^4 = C

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