Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(4)
.
(4)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, devemos encontrar um fator integrante e, então, obter a solução geral. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Denotamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Testamos a condição
que depende apenas de
. Logo, existe
com
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Verificamos a exatidão:
Agora é exata. Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos em
:
Para determinar
, usamos
logo
Passo 5
A função potencial é
e a solução geral implícita fica