(ITA/1990) Sejam os números reais alpha e x onde 0< alpha<pi / 2, x neq 0. Se no desenvolvimento de ((cos alpha) cdot x+sen alphax)^8 o termo independente de x vale 358, o valor de alpha é ?

Passo 1

O enunciado dá a expansão do binômio
l((cosalpha),x + tfracsinalphaxr)^8
e pede que o termo independente de x seja tfrac358.
O conteúdo aqui é o Teorema do Binômio, que nos permite escrever
l(A + Br)^8 = sumk=0^8 binom8k A^8-k B^k

Passo 2

No nosso caso A = (cosalpha),x e B = tfracsinalphax.
O termo geral é
binom8k(cosalpha)^8-kx^8-k,l(sinalphar)^kx^-k = binom8k(cosalpha)^8-k(sinalpha)^k,x^8-2k
Para ser independente de x precisamos de 8 - 2k = 0, ou seja k = 4.

Passo 3

O coeficiente do termo independente (quando k=4) é
binom84(cosalpha)^8-4(sinalpha)^4 = 70,(cosalpha)^4(sinalpha)^4
Pelo enunciado isso vale tfrac358, logo
70,(cosalpha)^4(sinalpha)^4 = 358

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 35
2,(cosalpha)^4(sinalpha)^4 = 18 Longrightarrow (cosalpha)^4(sinalpha)^4 = 116
Isto é
l(cosalpha,sinalphar)^4 = 116 Longrightarrow cosalpha,sinalpha = 12,
pois 0<alpha<tfracpi2 garante positividade.

Passo 5

Usando a identidade sin2alpha = 2sinalphacosalpha, temos
2sinalphacosalpha = 1 Longrightarrow sin2alpha = 1 Longrightarrow 2alpha = pi2 Longrightarrow alpha = pi4

Resposta

alpha = pi4

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