Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(3) d y / d x=e^3 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a E.D.O.
dydx = e^3x+2y
é exata. Se não for, devemos achar um fator integrante e, em seguida, obter sua solução geral. Para isso vamos usar o conceito de forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
as condições de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x, e o método de fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a E.D.O. na forma
dy - e^3x+2y,dx = 0,
ou seja
M(x,y) = -,e^3x+2y, N(x,y) = 1
Calculamos
partial Mpartial y = -2,e^3x+2y, partial Npartial x = 0,
e vemos que partial M/partial y neq partial N/partial x. Portanto, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu dependente só de y. Usamos o teste
partial Npartial x - partial Mpartial yM = 0 - l(-2e^3x+2yr)-e^3x+2y = -2,
que depende apenas de y. Logo
mu(y) = exp!l(integral -2,dyr) = e^-2y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y). Obtém-se
-e^-2ye^3x+2y,dx + e^-2y,dy = 0 ;Longrightarrow; -,e^3x,dx + e^-2y,dy = 0
Agora
tilde M(x,y) = -e^3x, tilde N(x,y) = e^-2y,
e de fato
partial tilde Mpartial y = 0, partial tilde Npartial x = 0,
logo a nova forma é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = -e^3x, partial phipartial y = e^-2y
Integramos a primeira em x:
phi(x,y) = integral -e^3x,dx + h(y) = -tfrac13e^3x + h(y)
Depois impomos
d hdy = partial phipartial y = e^-2y Longrightarrow h(y) = integral e^-2y,dy = -tfrac12e^-2y + C
Portanto
phi(x,y) = -13e^3x - 12e^-2y

Resposta

A E.D.O. não é exata; um fator integrante é mu(y)=e^-2y e a solução implícita geral é
-13e^3x - 12e^-2y = C

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