Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(3)
(3)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a E.D.O.
é exata. Se não for, devemos achar um fator integrante e, em seguida, obter sua solução geral. Para isso vamos usar o conceito de forma diferencial
as condições de exatidão
, e o método de fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a E.D.O. na forma
ou seja
Calculamos
e vemos que
. Portanto, não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
dependente só de
. Usamos o teste
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtém-se
Agora
e de fato
logo a nova forma é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos a primeira em
:
Depois impomos
Portanto
Resposta
A E.D.O. não é exata; um fator integrante é
e a solução implícita geral é