4.[1 pt]Considere a função f(x)=\sqrt{x-3} ,utilizando APENAS a definição de derivada,calcule f^{\prime}(5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\sqrt{x-3} no ponto x=5 usando apenas a definição de derivada. O conteúdo é o quociente de diferença e precisaremos racionalizar para simplificar o limite.

Passo 2

Pela definição de derivada em a=5, temos
f'(5)=\lim_{x\to5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}.
Como f(5)=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}, o quociente de diferença fica
\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{2}}{x-5}.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado da diferença:
\frac{\sqrt{x-3}-\sqrt{2}}{x-5}\;\cdot\;\frac{\sqrt{x-3}+\sqrt{2}}{\sqrt{x-3}+\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{x-3})^2-(\sqrt{2})^2}{(x-5)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{2})} =\frac{x-3-2}{(x-5)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{2})} =\frac{x-5}{(x-5)\,(\sqrt{x-3}+\sqrt{2})} =\frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando x\to5:
f'(5)=\lim_{x\to5}\frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{5-3}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

f'(5)=\frac{\sqrt{2}}{4}.

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