[2 pts] Sobre a função
w=f(x, y, z)=x+zx+y
responda às perguntas:
(a) Ache a direção de maior crescimento instantâneo no ponto (x, y, z)=(1,1,-1) do ou seja, ache o vetor unitário u que maximiza a derivada direcional Du f(1,1,-1).
(b) Ache a direção de maior decréscimo instantâneo no ponto (x, y, z)=(1,1,-1) do doı seja, ache o vetor unitário u que minimiza a derivada direcional Du f(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede as direções de máximo crescimento e decréscimo instantâneo de f(x,y,z)=x+zx+y em (1,1,-1).
O conteúdo é derivada direcional e gradiente. Sabemos que, para uma função de várias variáveis,
Duf(p)=nabla f(p)cdotu,
e que esse valor é máximo quando u tem a mesma direção de nabla f(p) e mínimo quando u é oposto a nabla f(p). Portanto, precisamos calcular nabla f e normalizá-lo.

Passo 2

Usando a regra do quociente l(u/vr)'=(u'v-uv')/v^2, temos
partial fpartial x =1cdot(x+y)-(x+z)cdot1(x+y)^2 =y-z(x+y)^2,
partial fpartial y =0cdot(x+y)-(x+z)cdot1(x+y)^2 =-x+z(x+y)^2,
partial fpartial z =1cdot(x+y)-0(x+y)^2 =1x+y
Logo,
nabla f(x,y,z) =l(y-z(x+y)^2,,-x+z(x+y)^2,,1x+yr)

Passo 3

Avalia-mos nabla f em (1,1,-1). Aqui x+y=2, y-z=1-(-1)=2 e x+z=1+(-1)=0, então
nabla f(1,1,-1) =l(24,;-04,;12r) =l(tfrac12,,0,,tfrac12r)

Passo 4

O módulo de nabla f(1,1,-1) é
|nabla f| =raizl(tfrac12r)^2+0^2+l(tfrac12r)^2 =raiztfrac14+tfrac14 =raiztfrac12 =1raiz2
Assim, a direção de maior crescimento é
umax =nabla f|nabla f| =(tfrac12,0,tfrac12)1/raiz2 =l(1raiz2,,0,,1raiz2r)

Passo 5

A direção de maior decréscimo é o oposto de umax, ou seja,
umin =-umax =l(-1raiz2,,0,,-1raiz2r)

Resposta

(a) u=l(tfrac1raiz2,,0,,tfrac1raiz2r)
(b) u=l(-tfrac1raiz2,,0,,-tfrac1raiz2r)

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