[2, Ex.20, p.184] e [3, Ex.7, p.124] Determine as derivadas parciais fx e fy das funções
[
f(x, y)=\left{ cc x+y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0) \quad g(x, y)=\left{ cc x^2 y sin 1x, & se x neq 0 0, & se x=0 \right.\right.
]

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de duas funções de duas variáveis, cada uma definida em pedaços. Para isso vamos usar:
  • A definição de derivada parcial em um ponto (x0,y0):
partial fpartial x(x0,y0)=limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h, partial fpartial y(x0,y0)=limkto0f(x0,y0+k)-f(x0,y0)k
  • O quociente e o produto de funções para pontos onde as funções são definidas por fórmulas “regulares”.

Passo 2

Função
f(x,y)=x+y^4x^2+y^2, (x,y)neq(0,0)
Aplicando o quociente f=UV com U(x,y)=x+y^4 e V(x,y)=x^2+y^2, temos
Ux=1,;Vx=2x, Uy=4y^3,;Vy=2y
Logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =Ux,V - U,VxV^2 =(1)(x^2+y^2)-(x+y^4)(2x)(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =Uy,V - U,VyV^2 =(4y^3)(x^2+y^2)-(x+y^4)(2y)(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+2y^5-2x y(x^2+y^2)^2

Passo 3

Derivadas parciais de f em (0,0) pela definição:
  • Para partial f/partial x:
f(h,0)=h+0h^2+0=1h,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrac1h-0h =limhto01h^2
não existe (diverge).
  • Para partial f/partial y:
f(0,h)=0+h^40+h^2=h^2,
partial fpartial y(0,0) =limhto0h^2-0h =limhto0h =0

Passo 4

Função
g(x,y)=x^2,y,sin1x, xneq0
Aqui usamos regra do produto e cadeia. Mantendo y fixo:
partial gpartial x =2x,y,sin1x +x^2,ycdotcos1xcdotl(-1x^2r) =2x,y,sin1x -y,cos1x,
partial gpartial y =x^2,sin1x

Passo 5

Derivadas de g quando x=0, pela definição:
  • Para partial g/partial x em (0,y):
partial gpartial x(0,y) =limhto0g(h,y)-g(0,y)h =limhto0h^2,y,sin1h-0h =limhto0h,y,sin1h =0
  • Para partial g/partial y em (0,y):
partial gpartial y(0,y) =limkto0g(0,y+k)-g(0,y)k =limkto00-0k =0

Resposta

Para
Para (g]:

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