(2016-2) Sobre o conjunto solução S da equação |x+1|+|x-1|=2, podemos afirmar que:
a) S=emptyset.
b) S tem apenas um elemento.
c) S tem apenas dois elementos.
d) S é infinito e é um intervalo.
e) S é infinito, mas não é um intervalo.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução S da equação
lvert x+1rvert + lvert x-1rvert = 2,
que é um problema de equações com valor absoluto. Para resolver, vamos usar a estratégia de dividir a reta real em três regiões de acordo com os pontos críticos onde os argumentos dos valores absolutos mudam de sinal, que são x=-1 e x=1.

Passo 2

Dividimos a reta em três intervalos:
  1. x < -1,
  2. -1 <= x <= 1,
  3. x > 1.
Em cada intervalo, substituímos lvert x+1rvert e lvert x-1rvert pelas expressões sem valor absoluto correspondentes ao sinal de cada argumento.

Passo 3

Para x < -1 temos x+1<0 e x-1<0. Então
lvert x+1rvert = -(x+1), lvert x-1rvert = -(x-1),
e a equação vira
-(x+1) - (x-1) = 2 ;Longrightarrow; -2x = 2 ;Longrightarrow; x = -1
Porém x=-1 não pertence ao intervalo x< -1, logo não há solução nessa região.

Passo 4

Para -1 <= x <= 1 temos x+1>=0 e x-1<=0. Então
lvert x+1rvert = x+1, lvert x-1rvert = -(x-1) = 1 - x,
e a equação fica
(x+1)+(1-x) = 2 ;Longrightarrow; 2 = 2,
que é verdadeira para todo x em [-1,1]. Logo todos esses x são soluções.

Passo 5

Para x > 1 temos x+1>0 e x-1>0. Então
lvert x+1rvert = x+1, lvert x-1rvert = x-1,
e a equação é
(x+1)+(x-1) = 2 ;Longrightarrow; 2x = 2 ;Longrightarrow; x = 1
Mas x=1 não pertence ao intervalo x>1, logo não há solução nessa região.

Passo 6

Reunindo os resultados, a única região que gera soluções é -1 <= x <= 1. Portanto
S = [-1,1],
que é um conjunto infinito e, além disso, forma um intervalo.

Resposta

d) S é infinito e é um intervalo.

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